2021版高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.9.3圆锥曲线与其他知识的交汇问题练习苏教版

9.9.3 圆锥曲线与其他知识的交汇问题

考点一 圆锥曲线与数列交汇 【典例】(2020·重庆模拟)已知椭圆

+

=1(a>b>0)的离心率为,以原点为圆心,以椭圆的

短半轴长为半径的圆与直线x-y+=0相切.

(1)求椭圆的方程.

(2)过椭圆的右焦点F的直线l1与椭圆交于A,B,过F与l1垂直的直线l2与椭圆交于C,D,与

l3:x=4交于P,求证:直线PA,PF,PB的斜率kPA,kPF,kPB成等差数列.

【解题导思】

序号 (1) 求椭圆方程 列出a,b的方程组求解 研究直线和圆锥曲线的基本过程——联①求A、B两点坐标关系 立方程组,根与系数的关系 (2) ②求点P的坐标 ③求直线斜率,验证所证 系进行验证 联立两直线方程求解 利用两点坐标表示斜率,化所证为等式关题目拆解 根据离心率以及直线与圆的位置关系【解析】(1)由题意知e==,所以=,

即a=b,

22

又因为以原点为圆心,以椭圆的短半轴长为半径的圆x+y=b与直线x-y+

222

=0相切,所以圆

心到直线的距离d==b=,所以a=4,b=3,

22

故椭圆的方程为+=1.

(2)当直线l1的斜率不存在时,

A(1,),B(1,-),C(2,0),D(-2,0),F(1,0),

P(4,0).所以kPA=-,kPB=,kPF=0, 所以2kPF=kPA+kPB. 当直线l1的斜率存在时,

设直线l1的方程为y=k,由

得x-8kx+4k-12=0.

222

设点A(x1,y1),B,

利用根与系数的关系得x1+x2=,

x1x2=,

由题意知直线l2的斜率为-,

则直线l2的方程为y=-,

令x=4,得P点的坐标,

kPA+kPB=+=++

=k×+×

=k×+×

=k×+×=-=2kPF,

即kPA+kPB=2kPF,综上得,kPA,kPF,kPB成等差数列.

圆锥曲线与数列的结合

圆锥曲线与数列的结合点比较多,如圆锥曲线中的相关线段长度或参数成等差、等比数列等,解决此类问题的关键是利用数列的知识,将条件等价转化为相关数量之间的关系即可,其实质就是相关的数量之间的等式关系的一种外在表现.

(2019·成都模拟)设圆x+y-4x-60=0的圆心为F2,直线l过点F1(-2,0)且与x轴不重合,交圆F2于C,D两点,过点F1作CF2的平行线交DF2于点E.

2

2

(1)求+的值.

(2)设点E的轨迹为曲线E1,直线l与曲线E1相交于A,B两点,与直线x=-8相交于M点,试问在椭圆E1上是否存在一定点N,使得k1,k3,k2成等差数列(其中k1,k2,k3分别指直线AN,BN,MN的斜率).若存在,求出N点的坐标;若不存在,请说明理由.

【解析】(1)因为圆x+y-4x-60=0的圆心为F2,所以所以∠F2DC=∠F2CD=∠EF1D,

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=且F1E∥CF2,

所以=,