2016届高考数学复习 第八章 第一节 空间几何体的结构及其三视图与直观图 理

第一节 空间几何体的结构及其三视图与直观图

考点一 空间几何体的结构

1．(2015·广东，8)若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值( ) A．大于5

B．等于5

C．至多等于4 D．至多等于3

解析 当n＝3时显然成立，故排除A，B；由正四面体的四个顶点，两两距离相等，得n＝4时成立，故选C. 答案 C

2．(2014·福建，2)某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( ) A．圆柱

B．圆锥

C．四面体

D．三棱柱

解析 圆柱的正视图是矩形，则该几何体不可能是圆柱． 答案 A

3.(2013·福建，12)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________．

解析 由三视图知：棱长为2的正方体内接于球，故正方体的体对角线

?23?2

长为23，即为球的直径．所以球的表面积为S＝4π·??＝12π.

?2?

答案 12π

4．(2012·辽宁，16)已知正三棱锥P-ABC，点P，A，B，C都在半径为3的球面上，若PA，

PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为________．

解析 正三棱锥P-ABC可看作由正方体PADC-BEFG截得，如图所示，

PF为三棱锥P-ABC的外接球的直径，且PF⊥平面ABC.

设正方体棱长为a，则

3a＝12，a＝2，AB＝AC＝BC＝22.

2

S△ABC＝×22×22×

由VP-ABC＝VB-PAC，得

123

＝23. 2

11123·h·S△ABC＝××2×2×2，所以h＝， 3323

因此球心到平面ABC的距离为答案

3 3

3. 3

考点二 三视图、直观图

1．(2015·北京，5)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( )

A．2＋5

B．4＋5

C．2＋25

D．5

解析 该三棱锥的直观图如图所示：过D作DE⊥BC，交BC于E，连接AE，则BC＝2，EC＝1，AD＝1，ED＝2，

S表＝S△BCD＋S△ACD＋S△ABD＋S△ABC

1111

＝×2×2＋×5×1＋×5×1＋×2×5＝2＋25. 2222答案 C

2．(2015·浙江，2)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )

A．8 cm

3

B．12 cm

3

C.

323

cm 3

D.

403

cm 3

解析 该几何体是棱长为2 cm的正方体与一底面边长为2 cm的正方形，高为2 cm的正1323

四棱锥组成的组合体，V＝2×2×2＋×2×2×2＝(cm)．故选C.

33答案 C

3．(2015·新课标全国Ⅰ，11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半

径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝( ) A．1 C．4

B．2 D．8

111212222

解析 由题意知，2r·2r＋·2πr·2r＋πr＋πr＋·4πr＝4r＋5πr＝16＋20

2222π，解得r＝2. 答案 B

4．(2014·江西，5)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是( )

解析 由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成．从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形． 答案 B

5．(2014·湖北，5)在如图所示的空间直角坐标系O－xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)．给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )

A．①和② C．④和③

B．③和① D．④和②

解析 在空间直角坐标系O－xyz中作出棱长为2的正方体，在该正方体中作出四面体，如图所示，由图可知，该四面体的正视图为④，俯视图为②.选D. 答案 D

6．(2014·新课标全国Ⅰ，12)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )

A．62

B．42

C．6

D．4

解析 如图，设辅助正方体的棱长为4，三视图对应的多面体为三棱锥A－BCD，最长的棱为AD＝（42）＋2 ＝6，选C. 答案 C

7．(2013·四川，3)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )

2

2

解析 由于俯视图是两个圆，所以排除A，B，C，故选D. 答案 D

8．(2013·湖南，7)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于( ) A．1

B.2 C.

2－1

2

D.

2＋1

2

解析 根据三视图中正视图与俯视图等长，故正视图中的长为2cos

θ，如图所示．

π2－1

故正视图的面积为S＝2cos θ(0≤θ≤)，∴1≤S≤2，而<1，

42故面积不可能等于答案 C

9．(2011·浙江，3)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )

2－1

. 2