历年来北大自主招生数学试题 - 图文

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2013年北约自主招生数学试题

2013-3-16

（时间90分钟，满分120分）

一 选择题（每题8分，共48分）

1．以2和1?32为两根的有理系数多项式的次数最小是多少 （ ）

A．2 B．3 C．5 D．6

2．在6?6的棋盘中停放着3个红色車和3个黑色車，每一行、每一列都只有一个車，共有多少种停放方法 （ ）

A．720 B．20 C．518400 D．14400

3．已知x?2y?5，y?2x?5，则x?2xy?y的值为 （ ）． A．-10 B．-12 C．-14 D．-16

4．如图， 在△ABC中，D为BC中点，DM平分∠ADB交AB于点M，DN平分∠ADC

Ａ

交AC于N，则BM+CN与MN的关系为 ( ) A.BM+CN＞MNB.MN+CN

E

Ｂ Ｄ Ｍ 223223Ｎ Ｃ

5．设数列?an?满足a1?1，前n项和为Sn，Sn?1?4an?2，求a2013．

6．模长为１的复数x,y,z满足x?y?z?0，求

xy?yz?zx．

x?y?z18

A．-1/2 B．1 C．2 D．无法确定

二、解答题(每题18分,共72分)

7．最多有多少个两两不等的正整数，满足其中任意三数之和都为素数．

8．已知ai，i?1,2,3,?,2013为2013个实数，满足a1?a2?a3???a2013?0，且

a1?2a2?a2?2a3?…?a2013?2a1，求证a1?a2?a3???a2013?0．

9．对于任意的?，求32cos??cos6??6cos4??15cos2?的值．

10．已知有mn个实数，排列成m?n阶数阵，记作aij6??m?n使得数阵的每一行从左到右都

是递增的，即对任意的i?1,2,3,?,m，当j1?j2时，有aij1?aij2；现将aij??m?n的每一列

，即

'原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的m?n阶数阵，记作aij??m?n对任意的j?1,2,3,?,n，当i1?i2时，有a大小关系，并加以证明．

'i1j?a'i2j，试判断?a'ij?m?n中每一行的各数的

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2013年北约自主招生数学试题解析

2013-3-16

（时间90分钟，满分120分）

一 选择题（每题8分，共48分）

1．以2和1?32为两根的有理系数多项式的次数最小是多少 （ ）

A．2 B．3 C．5 D．6 【解析】 显然(x?2)((x?1)?2)为满足要求的多项式，其次数为5．

若存在n次有理系数多项式f(x)以

232和1?32为两根，则f(x)必含有因式

(x2?2)((x?1)3?2)，∴n?5，即最小次数为5．故选C．

2．在6?6的棋盘中停放着3个红色車和3个黑色車，每一行、每一列都只有一个車，共有多少种停放方法 （ ）

A．720 B．20 C．518400 D．14400

3【解析】 先排3个红色車，从6行中任取3行，有C6?20种取法；在选定的3行中第一

行有6种停法，第一行选定后第二行有5种停法，第二行选定后第三行有4种停法；红車放定后，黑車只有6种停法．故停放方法共20?6?5?4?6?14400种．故选D．

3．已知x?2y?5，y?2x?5，则x?2xy?y的值为 （ ）． A．-10 B．-12 C．-14 D．-16 【解析】 ∵x?2xy?y?x(2y?5)?2(2y?5)(2x?5)?y(2x?5)

3223223223??4xy?15(x?y)?50，

又由x?2y?5，y?2x?5，有x?y??2(x?y) ∴x?y或x?y??2．

2当x?y时，有x?2x?5，x?1?22226，

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