数形结合思想在中学数学中的应用本科毕业论文(1)

江西师范大学12届学士学位毕业论文

了解题过程．这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图见数想图，以开拓自己的思维视野．

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围．

纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果．

3 数形结合思想在中学数学中的应用

3.1 数形结合思想在集合中的应用

3.1.1 利用韦恩图法解决集合之间的关系问题

一般情况我们用圆来表示集合，两个圆相交则表示两个集合有公共的元素，两个圆相离就表示两个集合没有公共的元素．利用韦恩图法能直观地解答有关集合之间的关系的问题．

例1．某校先后举行数理化三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学807人，物理739人，化学437人；至少参加两科的：数理593人，数化371人，理化267人；三科都参加的213人，试计算参加竞赛总人数．（选自《王后雄高考标准诠释》）

解：我们用圆A、B、C分别表示参加数理化竞赛的人数，那么三个圆的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数．用n表示集合的元素，则有：

C(化) B(理) A（数） n(A)?n(B)?n(C)?n(A?B)?n(A?C)?n(B?C)?n(A?B?C)?807?739?437?593?371?267?213?965

即：参加竞赛总人数为965人.

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3.1.2 利用数轴解决集合的有关运算

例2．已知集合A??x?1?x?3?,B??xa?x?3a? ⑴若A?B，求a的范围． ⑵若B?A，求a的范围．

a -1 3 3a

分析：先在数轴上表示出集合A的范围，要使A?B，由包含于的关系可知

?a??1集合B应该覆盖集合A，从而有：，这时a的值不可能存在．要使B?A， ??3a?3?a??1?当a?0时集合A应该覆盖集合B，应有?3a?3成立，即0?a?1．

?a?0? -1 a

3a 3

当a?0时，B??，显然B?A成立．故B?A时的取值范围为：a?1

在集合问题中，有一些常用的方法如韦恩图法，数轴法取交并集，在例题一中通过画韦恩图表示出各集合，可以直观形象的表现出各部分数量间的关系 ，本题主要强化学生数形结合能力，解此类题目的技巧与方法是画出图形，形象的表示出各数量关系间的联系，从而求解．在解例题二这一类题目时要先化简集合，确定各集合之间的包含关系，进一步在数轴上表示出来，通过数轴简便求解．

3.2 数形结合思想在解方程中的应用

在很多情况下我们对于一些比较复杂的方程不能使用常规的方法去解，也不能使用求根公式，以至于无法求解，那么我们采用数形结合思想，将方程的跟转化为求函数的交点，通过作图可以很好的解答出来．

例3．设方程x2?1?k?1，试讨论k取不同范围的值时其不同解的个数的情况．

解：我们可把这个问题转化为确定函数y1?x2?1与y2?k?1图像交点个数的情况，因函数y?k?1始终表示平行于轴的所有直线（无论k取何值），函

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数y1?x2?1可以先转换成从函数y1?x2?1，然后根据二次函数图象性质画出

y1?x2?1图像，进一步画出y1?x2?1的图象，从而可以直观看出：

（1）当k??1时，y1与y2没有交点，这时原方程无解；

（2）当k??1时，y1与y2有两个交点，原方程有两个不同的解，分别是

-1 0 -1 1 1 x x??1与x?1；

（3）当?1?k?0时，y1与y2有四个不同交点，原方程不同解的个数有四个； （4）当k?0时，y1与y2有三个交点，原方程不同解的个数有三个； （5）当k?0时，y1与y2有两个交点，原方程不同解的个数有三个．

通过图像我们可以清楚的看出k在什么范围内两个函数它们交点的个数，从而大大的简化了我们做题，提高了做题的效率．在方程意义下去研究二次方程且带有字母代数的，往往非常棘手，但如果先把它转化成二次函数，并画出二次函数图象，在运用图象的性质去研究，问题就迎刃而解了，本题就是很好的佐证，将二次函数图象与一次函数图象相结合，再根据k的范围就能很快得出交点个数，即方程解的个数．所以在今后解类似题目时可以将复杂的代数转化成函数，再画出图像．

3.3 数形结合思想在解不等式中的应用

解不等式,就是要对不等式进行同解变形,使之变为与原不等式同解的最简不等式.不等式灵活变换的特点和广泛应用的价值对培养学生能力，发展学生思维提出了教高的教学要求.结合图形研究,可以避免复杂的讨论,化繁为简.

29?x?x2?1 例4解不等式

5x?229?x?x2?x2?6x?27?1?0， 通分得?0 解:移项得

5x?25x?2

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即 (x?3)(x?9)?0?(x?9)(5x?2)(x?3)?05x?2由序轴标根法可知:原不等式的解为：

2?9?x??或x?3

5注:我们把不标注原点和没有长度单位,只反映任意两个实数的大小顺序的数

轴称为序轴,用序轴标根法解不等式的步骤是:将f?x??0的n个根在序轴上标注出来，这n个根将序轴分成n?1个区间，则最右一个区间的值使f?x??0，然后自右向左f?x?的符号依次“?”“?”相间.当f?x?中有重因式时,可把奇次重因式改为一次单因式,把偶次重因式弃掉,并且去掉使偶次重因式为零的实数.

对一些不等式问题，我们可以借助所给图形，仔细观察研究图形，揭示出图形中所蕴含的数量关系，从而运用所学知识加以解决．

例5．解关于x的不等式|loga(x?1)|?|loga(x?1)|(0?a?1)． 解：设f(x)?loga(x?1)，g(x)?loga(x?1).

令f(x)?g(x), 解之得x?2．

分别在同一坐标系中作出f(x)和g(x)在0?a?1时的函数图象；如下图所示： -1 O 1 2 1 2 y x 我们通过观察图象可知： 当x?2时，f(x)和g(x)的函数值相等； 当x?2时，f(x)?g(x)； 当x?2时，f(x)?g(x)； 从而可知原不等式的解为x?2．