高考数学专题九 等差数列与等比数列

当n＝10时， 当n≥11时，

＝ <

.

※

于是综合上述讨论可知，对于n≥2 （n∈N）， 若q＝1，则

>

；

若q＝－ ，则当2≤n≤9时， > ；

当n＝10时， 当n≥11时， 四、高考真题 1．设等比数列｛的值为（ ）

＝ <

； .

｝的公比为q，前n项和为 ，若 ， ， 成等差数列，则q

分析：从运用等比数列求和公式切入. 注意到当q＝1时， 又

，∴2

∴这里q≠1. 而当q≠1时，由 2

(1－

)＝

得

整理得

由此解得q＝－2， 故应填－2.

2．已知实数a，b，c成等差数列，a＋1，b＋1，c＋4成等比数列且a＋b＋c＝15，求a，b，c. 分析：注意到这里a，b，c成等差数列，且已知它们的和为15.故运用“对称设法”. 解：设实数a，b，c所成等差数列的公差为d， 则a＝b－d，c＝b＋d.

∴由已知条件得

由（1）得b＝5 代入（2）得36＝（6－d）（9＋d）

（d－3）（d＋6）＝0 ∴d＝－6或d＝3

当d＝－6时，得a＝11，c＝－1； 当d＝3时，得a＝2，c＝8；

∴所求a，b，c的值为a＝11，b＝5，c＝－1或a＝2，b＝5，c＝8. 3．数列｛

｝满足

＝1，且

，记

（1）求 （2）求数列{ 分析：欲求

的值； }的通项公式及数列｛ ，可先求关于数列｛

｝的前n项和

.

｝的递推式向｛

｝的

｝的递推式.因此，考虑以｛

递推式的转化切入.

解：（1）由 ①代入已知递推式得

得 ①

由此解得 ②

又 ， ＝1，

∴

∴由②得

∴所求 ，

（2）解法一（变形、转化）由②入手凑项得

又 ，

∴数列｛ ｝是首项为 ，公比为2的等比数列

∴ ＝ ×2

即 （n∈N） ③

※

于是由①得

＝

＝

∴ ＝

＝

＝ （n∈N）

※

解法二（列举――猜想――证明）由（1）得

，

注意到

由此猜出：数列｛ ｝是首项为 ，公比为2的等比数列

由此可得 ＝ （以下证明从略）.

4．设无穷等差数列｛ ｝的前n项和为 .

（1）若首项 ＝ ，公差d＝1，求满足 的正整数k；

（2）求所有的无穷等差数列｛ 分析：

｝，使对于一切正整数k都有 成立.

（1）注意到这里要求的是项数k，故选用第二求和公式

（2）解决此类恒成立问题，从“特殊”入手切入.故这里也从k＝1，2入手突破.

解：（1）当 ＝ ，d＝1时， ＝

∴由 得 ，

又k≠0，故得k＝4. （2）设数列｛

｝的公差为d，则在

中分别取k＝1，2得

解得

＝0或

＝1

（ⅰ）当 ＝0时，代入②解得d＝0或d＝6

若 ＝0，d＝0，则 ＝0， ＝0，从而 成立；

若

＝0，d＝6，则 ≠

＝6（n－1），由 ＝18， ＝324， ＝216知，

，故所得数列不合题意. ＝1代入②解得d＝0或d＝2

（ⅱ）当

若 若

＝1，d＝0，则 ＝1，d＝2，则

＝1， ＝n，从而 成立；

＝2n－1， ＝1＋3＋??＋（2n－1）＝

从而 成立.

于是综合以上讨论可知，共有3个满足条件的无穷等差数列： （Ⅰ）｛ （Ⅱ）｛ （Ⅲ）｛

｝: ｝: ｝:

＝0，即0，0，0，??； ＝1，即1，1，1，??；

＝2n－1，即1，3，5，??，2n－1，??.

及d的值，而后再说明或论证这样的数列｛

｝是否

点评：对于（2），从k＝1，2入手求出

符合题意，循着“一般～特殊～一般”的辩证途径切入问题并引向纵深.