高考数学专题九 等差数列与等比数列

=

＝

（n≥2）的矛盾）

由题设易见k≠1（不然，便会由④导出

故得 ＝ （n≥2） ⑤ ＋

＝k

（注意特殊情形的考察从原式入手）

另一方面，由题设得 ∴2a1＋

＝k

∴ ＝ ⑥

由⑤⑥令 ＝ ，则此方程无解，

∴ ≠ （n≥2） ⑦

｝不是等比数列，这与题设矛盾

｝为等比数列.

的关系问题，仍然是一要注意“细节”：对n的

于是由⑤⑦知，数列｛

因此，不存在满足题设条件的正整数k，使得数列｛ 点评：解决数列｛

｝的递推式问题或

与

范围的认定与标注；二要注意“晚节”：综合结论前要特别注意对n的特殊取值的考察.对于本例，若将④错认为是

2 ＝（k＋1） （n∈N），则会导出

｝中，公差d≠0，

※

＝ 是

（n∈N），进而作出错误判断. 与 .

｝，从认

的等比中项，已知

，

，

，

※

例3．在等差数列｛

，??，

成等比数列，求数列｛ ｝的通项

分析：此题是等差数列｛ ｝和它的子数列的问题，因此，解题要立足于等差数列｛

知｛ ｝的特性入手去了解.认知它的子数列｛

＝

｝或相关数列｛ ｝.

解：由题设得

＝

2

＋（n－1）d ①

②

∴由①②得

又d≠0， ∴d＝

∴ ＝nd（数列｛ ｝特性） ③

∴又由 ， ， d，

， ，??， 成等比数列

得：d，3d， d，??，

，

d成等比数列 ，??，

※

又注意到d≠0，故有1，3， 成等比数列.

由此得 即 （n∈N）

｝

点评：解决数列和它的子数列问题，务必要注意子数列中各项的“双重属性”.对于本题中的数列｛

的子数列 ， ；

， ， ，??， 是等差数列｛ ｝的第 项，有 ＝ ＋

又是上述子数列的第n＋2项，又有 ＝ q

n＋1

（这里q＝3）.解决此类问题时，这“双重

属性”都要注意考察与运用. 例4、（2005江苏卷）设数列｛

｝的前n项和为

，已知

＝1，

＝6，

＝11，且

（n＝1，2，??）其中A，B为常数.

（1） 求A与B的值； （2） 证明：数列｛

｝为等差数列；

（3） 证明：不等式 对任何正整数m，n都成立.

分析：关于 与 的问题，当然要利用基本关系式 ＝ ，只是要注意捕捉

应用这一公式的最佳时机：有时，一开始便运用公式为好；有时，对已知式化简或变通后再用公式为上.在这里，注意到已知关系式的复杂性，考虑先化简或转化，条件适当时再用公式. 解： （1）由已知得

＝

＝1，

＝7，

＝18

又在已知关系式中分别令n＝1，2得

由此解得A＝－20，B=－8.

（2）证明：由（1）得 ∴由①得 ∴②－①得 ①

（近亲繁殖） ②

③ ∴由③得 （再次近亲繁殖） ④

∴④－③得 此时，注意到

∴由⑤得

又5n＋2≠0 故得 即 ⑥

又

－

＝

－

＝5 ⑦

∴由⑥⑦知数列｛ ｝是首项为

＝1，公差d＝5的等差数列.

（3）证明：由（2）得

＝5n－4

又

①

∵

＝25mn－20（m＋n）＋16 ∴要证原不等式成立.

只要证明对任意m，n∈N※

都有①成立 只要证

只要证 ② 此时注意到

＝5m+5n－8

⑤

又15m＋15n－29>0 ∴ 即

∴②式成立 ∴原不等式成立. 点评：

（1）证明（2），两次利用近亲繁殖，两次运用两式相减：②－①消去原来右边的（－20n），④－③消去原来右边的－20，从而使得新递推式左边为0.这种战略眼光和胆略值得我们学习.

（2）证明（3），分析转化，有目的地凑项，也是经常运用的解题策略值得我们细细品悟和借鉴. 例4．已知数列｛ （1） 求q的值； （2） 设｛

｝是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为

，当n≥2时，比较

与

｝是公比为q的等比数列，且

，

，

成等差数列.

的大小，并说明理由. 分析：（2）仍是

与

的问题，解题或讨论时要注意q取特殊值及n取特殊值的细节之处.

解：（1）由题意得 ∴ ∵

， ∴

， 又 ，

∴q＝1或q＝－ .

（2）若q＝1，则 ＝2n＋ ，

∴当n≥2时， － ＝ ＝ ＝

∴ > ；

若q＝－ ，则 ＝2n＋

∴当n≥2时， － ＝ ＝

由此可知，当2≤n≤9时， － ，即 > ；