高考数学专题九 等差数列与等比数列

专题九 等差数列与等比数列 一、高考考点

1.等差数列或等比数列定义的应用：主要用于证明或判断有关数列为等差（或等比）数列. 2.等差数列的通项公式，前几项和公式及其应用：求 3.等比数列的通项公式，前n项和及其应用：求 4.等差数列与等比数列的（小）综合问题.

5.等差数列及等比数列的主要性质的辅助作用：解决有关问题时，提高洞察能力，简化解题过程. 6.数列与函数、方程、不等式以及解析几何等知识相互结合的综合题目：以高中档试题出现，重点考察运用有关知识解决综合问题的能力。 二、知识要点 （一）、等差数列

1.定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差. 认知：｛

－

｝为等差数列

=d (n

－

※

；求 ；解决关于

或

或 的问题.

；求 ；解决有关 的问题.

=d (n∈N且d为常数)

※

2, n∈N且d为常数)

此为判断或证明数列｛ 2.公式 （1）通项公式： 引申： 认知：｛

=

=

｝为等差数列的主要依据.

+（n－1）d：

+（n－m）d （注意：n=m+(n－m) ） ｝为等差数列

为n的一次函数或

为常数

=kn+b (n

)

（2）前n项和公式： = 或 =n +

认知：｛

+bn(n

｝为等差数列

)

为n的二次函数且常数项为0或 =n =

3.重要性质 (1)｛ ｛ ｛

｝为递增数列 ｝为递减数列 ｝为常数列

d＞0; d＜0; d=0

(2)设m,n,p,q ,则m+n=p+q + = + ;

(3)2m=p+q 2 = + .

即在等差数列中,如果某三项(或更多的项)的项数成等差数列,则相应的各项依次成等差数列. (4)设

,

,

分别表示等差数列｛

｝的前n项和,次n项和,再次n项和,??则

,

,

??依次成等差数列. （二）等比数列

1、定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比.

认知：（1）｛ ｝为等比数列 =q (n∈N且q为非零常数)

※

=q (n≥2，n∈N且q为非零常数)

※

(2）｛

｝为等比数列

，且

※

(n≥2，且 ≠0)

≠0 )

(n

2.公式

（1）通项公式： 引申： 认知：｛

=

=

；

（注意：n=m+(n－m) ）

=c

(c,q均是不为0的常数，且n

)

｝为等比数列

（2）前n项和公式 认知：｛

｝为等比数列

=A

+B （其中n

，且A+B=0）.

3．主要性质： （1）设m,n,p,q

,则有m+n=p+q

;

（2）2m=p+q

即在等比数列中，如果某三项（或更多的项）的项数成等差数列，则相应的各项依次成等比数列. （3）设

,

,

,

，??分别表示等比数列的前n项和，次n项和，再次n项和，??，则

,

，??依次成等比数列。

（三）等差数列、等比数列的联系与个性

等差数列与等比数列定义中的一字之差，导致它们的主要性质具有惊人的相似之处，也造就出它们之间密切联系的必然.然而，它们毕竟是两种不同的数列，各自又必然具有鲜明的个性.因此，认知联系，了解个性，是我们分析和解决等差数列与等比数列综合问题的必要的基础和准备. 1.联系

（1）正数等比数列各项的（同底）对数值，依次组成等差数列.即｛ （i=1,2??,n,??）

｛

｝(

且

｝为等比数列且

)为等差数列.

引申：若｛亦为等差数列.

｝为正项等比数列，且定义 ＝ ，则｛ ｝

（2）取一个不等于1的正数为底数，则以等差数列各项为指数的方幂依次组成等比数列.即设a>0且a≠1，则 ｛

｝为等差数列

｛

｝为等比数列.

｛

｝是非零常数列.

（3）｛ 2.个性 （1）倒数

｝既是等差数列，又是等比数列

等比数列各项的倒数仍成等比数列；

除常数列外，等差数列各项的倒数不再成等差数列（它们组成一个新数列，称为调和数列）. （2）中项

任何两数的等差中项存在且唯一；

只有两个同号数才有等比中项，并且它们的等比中项是互为相反数的两个值. （3）解题策略

解决等差数列基本策略：两式相减，消元化简； 解决等比数列基本策略：两式相除，消元降幂. 三、经典例题 例1.已知数列｛

｝共有k（定值）项，它的前几项和

＝2n＋n（n≤k，n∈N），现从这k

2

※

项中抽取一项（不抽首项和末项），余下的k－1项的算术平均值为79. （1）求

；

（2）求数列的项数k，并求抽取的是第几项.

分析：注意已知 解：（1） 当n≥2时，

＝2n＋n，欲求

2

，立足于公式 ；

＝

又 ＝3适合上式，

※

∴ ＝4n－1，（n≤k，n∈N）.

｝的第t项（1

（2）设抽取的是数列｛ 则

＝4t－1 ①

－

＝79（k－1）

由题意得

2

∴（2k＋k）－（4t－1）＝79k－79

∴4t＝2k－78k＋80 ② ∵1

2

∴由②得 4<2k－78k+80<4k ∵k∈N ∴k＝39 ∴由②得t＝20. 于是可知，数列｛

※

2

｝共有39项，抽取的是第20项.

点评：捕捉并利用题设条件中的不等关系，是解题成败或失分的重要环节.在这里，设抽取的是数列｛

｝中的第t项

之后，揭示并利用1

寻出所求整数值，也是数列问题乃至其它关于整数的命题的基本解题方略. 例2．设数列｛

｝的前n项和为

，对所有正整数n都有

≠0，且

＋

＝k

，

是否存在正整数k，使得数列｛ ｝为等比数列.

分析：关于 和 的问题，仍要立足于公式 ＝ ，只是在处理特殊与一般

的两种情况能否“合二为一”的环节，大家要格外小心. 解：假设符合题意的正整数k存在，则有 又

＋ －

＝k ＝

（本题特殊性） ① （数列普遍性） ② ＝（k＋1）

（n∈N） ③

※

∴①＋②得2 ∴2

＝（k＋1） （n≥2）（近亲繁殖） ④ ＝（k＋1）（

－

）

∴③－④得 2