双缝干涉条纹间距公式的推导 - 两种方法 - 图文

x2?n?????2?2?l2?d??n????????2??2?22?1

解得：

l2 x?n?4?222d?n?上式中，d的数量级为10m，?为10m。故d?n??d，x的表达式简化为：

?4?72222l2x?n?4?2

dl24其中l的数量级为10m，d的数量级为10m。故2?10，x的表达式简化为：

d0?4l2n?l x?n??2dd可见，交点横坐标成一等差数列，公差为（1）条纹是等间距的； （2）相邻两条纹的间距为

l?，这说明： dl?。 dl?。 d至此，证明了条纹间距公式：?x?

杨氏双缝干涉条纹间距到底是不是相等的？

海军航空工程学院 李磊 梁吉峰 选自《物理教师》2008年第11期

在杨氏双缝干涉实验中，在现行的高中物理教科书中得出相邻的明纹（或者暗纹）中心间距为：Δx＝Lλ/d，其中L为双缝与屏的间距，d为双缝间距，对单色光而言，其波长λ为定值，所以我们得出的结论是干涉图样为等间距的一系列明暗相同的条纹，但是在现行的高中物理教科书中所给的干涉条纹的照片却并非如此，如图1。我们可以看到只是在照片中央部分的干涉条件是等间距的，但是在其边缘部分的条纹的间距明显与中央部分的条纹间距不同。问题到底出在哪里呢？

首先我们来看现行的教科书上对于杨氏双缝干涉的解释，如图2。

设定双缝S1、S2的间距为d，双缝所在平面与光屏P平行。双缝与屏之间的垂直距离为L，我们在屏上任取一点P1，设定点P1与双缝S1、S2的距离分别为r1和r2，O为双缝S1、S2的中点，双缝S1、S2的连线的中垂线与屏的交点为P0，设P1与P0的距离为x，为了获得明显的干涉条纹，在通常情况下L>>d，在这种情况下由双缝S1、S2发出的光到达屏上P1点的光程差Δr为

S2M＝r2－r1≈dsinθ， （1）

其中θ也是OP0与OP1所成的角。 因为d<

x

sinθ≈tanθ＝ （2）

Lx

因此Δr≈dsinθ≈d

L

x

当Δr≈d ＝±kλ时，屏上表现为明条纹，其中k＝0，1，2，……， （3）

L

x1

当Δr≈d ＝±（k＋ ）λ时，屏上表现为暗条纹，其中是k＝0，1，2，……。 （3′）

L2我们继续算得光屏上明条纹和暗条纹的中心位置。

L

当x＝±k λ时，屏上表现为明条纹，其中k＝0，1，2，…。 （4）

d

1L

当x＝±（k＋ ） λ时，屏上表现为暗条纹，其中k＝0，1，2，…。 （4′）

2d我们还可以算出相邻明条纹（或者暗条纹）中心问的距离为 L

Δx＝xk＋1－xk＝ λ。 （5）

d

至此我们得出结论：杨氏双缝干涉条纹是等间距的。

问题就在于以上的推导过程中，我们用过两次近似，第1次是在运用公式Δr＝r2－r1≈dsinθ的时候，此式近似成立的条件是∠S1P1S2很小，因此有S1M⊥S2P1，S1M⊥OP1，因此∠P0OP1＝∠S2S1M，如果要保证∠S1P1S2很小，只要满足d<

第2次近似是因为d<

表1 θ sinθ tanθ θ sinθ tanθ 1° 0.017452 0.017455 8° 0.139173 0.140540 2° 0.034899 0.034920 9° 0.156434 0.158384 3° 0.052359 0.052407 10° 0.173648 0.176326 4° 0.069756 0.069926 11° 0.190808 0.194380 5° 0.087155 0.087488 6° 0.104528 0.105104 7° 0.121869 0.122784 tanθ－sinθ从表1中我们可以看出当θ＝6°时， ≈0.6%。因此当θ≥6°时，相对误差就超过了0.6%，因此我们通常说sinθ＝tanθ成立的条件是θ≤5°，当θ＞5°时，

sinθ

sinθ≈tanθ就不再成立。而在杨氏双缝干涉实验中，θ很小所对应的条件应该是x<

而当x较大时，也就是光屏上离P0较远的点所对应的θ角也较大，当θ＞5°时，sinθ≈tanθ就不再成立，上述推导过程也就不完全成立了，（2）式就不能再用了。

此时sinθ＝

xL?x22

所以，Δr≈dsinθ＝

dxL?x22＝±kλ，屏上表现为明条纹，其中k＝0，1，2，…，

Δr≈dsinθ＝

dxL2?x21

＝±（k＋ ）λ，屏上表现为暗条纹，其中k＝0，1，2，…。

2

因此可以得到光屏上明纹或者暗纹的中心位置为x＝±

Lk?d?k?222，屏上表现为明条纹，其中k＝0，1，2，…，

1L(k?)?2x＝±，屏上表现为暗条纹，其中k＝0，1，2，…。 1d2?(k?)2?22则相邻的明条纹中心问距为 Δx明＝xk＋1明一xk明＝邻暗条纹中心间距为

L(k?1)?d?(k?1)?222－

Lk?d?k?222

11L(k?1?)?L(k?)?22Δx暗＝xk＋1暗一xk暗＝－ 11d2?(k?1?)2?2d2?(k?)2?222由上式可见相邻的明、暗条纹就不再是等间距的了，这也正如教科书上的照片所示的条纹分布。

下面我们通过一个实例来定量计算等间距条纹的条数。

例1：用氦氖激光器（频率为4.74×1014Hz）的红光照射间距为2mm的双缝时，试求我们能观察到的等间距的条纹的条数。 解：因为Δr＝dsinθ＝kλ，所以

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dsinθνdsinθ4.74×10×2×10×sin5°k＝ ＝ ＝ ≈2.8。

λc3.0×108－

考虑到光屏的两侧，我们最终能够在光屏上观察到的等间距的条纹大致为5条。