大工13秋《复变函数与积分变换》辅导资料十七

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复变函数与积分变换辅导资料十七

主 题：第八章 拉普拉斯变换

第一节 拉普拉斯变换的概念

学习时间：2014年1月20日－1月26日 内 容：

通过上一章的学习，我们了解到傅里叶变换的存在条件是比较强的，要求被变换的函数不仅在有限区间上满足狄利克雷条件，而且要求函数在(??,??)上绝对可积。这个条件实际上很苛刻，很多常见的函数甚至是很简单的函数，如多项式函数、正弦函数、余弦函数、单位阶跃函数等都不满足这个存在条件，致使傅里叶变换的应用受到很大的限制。本章将介绍一种应用较为广泛、能够克服傅里叶变换不足的积分变换—拉普拉斯变换。本周学习要求及需要掌握的重点内容如下：

1、深刻理解拉普拉斯变换及其逆变换的概念，注意拉普拉斯变换与傅里叶变换的区别、联系

2、理解拉普拉斯变换的存在定理 基本概念：拉普拉斯变换及其逆变换 知识点：拉普拉斯变换的存在定理

第一节、拉普拉斯变换的概念 （要求达到“领会”层次）

一、拉普拉斯变换

定义：设函数f(t)在t?0时有定义，且含复参变量s的积分?s的某区域内收敛，则称由这个积分确定的函数F(s)????0??0f(t)e?stdt在

f(t)e?stdt为f(t)的拉

普拉斯变换，简称为f(t)的拉氏变换，并记为L[f(t)]，即

L[f(t)]?F(s)????0f(t)e?stdt

在式子F(s)????0f(t)e?stdt中，称F(s)为f(t)的像函数；称f(t)为F(s)的像

?1原函数或F(s)的拉氏逆变换，记为f(t)?L??[F(s)]。

事实上，我们从下面可以看出傅里叶积分变换和拉普拉斯积分变换的关系：

F[f(t)u(t)e??t]????f(t)u(t)e??te?j?tdt????0??0f(t)e?(??j?)tdt

令s???j?，则F[f(t)u(t)e??t]??f(t)e?stdt?F(s)?L[f(t)]

由此可以知道，f(t)的拉普拉斯积分变换就是f(t)u(t)e??t的傅里叶积分变

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换，首先通过单位阶跃函数u(t)使函数f(t)在t?0的部分为0，其次对函数f(t)在t?0的部分乘一个衰减的指数函数e??t以降低其增长速度，这样就有希望使函数f(t)u(t)e??t满足傅里叶积分变换的条件，从而对它进行傅里叶积分变换。 典型例题：

?1,t?0例1、求单位阶跃函数u(t)??的拉氏变换

?0,t?0解：根据拉氏变换的定义，L[u(t)]??e?stdt

0??这个广义积分在Res?0时收敛，而且有?1所以L[u(t)]?(Res?0)

s??01?st??1edt??e?

0ss?st例2、求指数函数f(t)?ekt的拉氏变换（k为实数）

????1?(s?k)t??1kt?st?(s?k)tL解：[f(t)]??eedt??e dt??e?00s?k0s?k所以L[ekt]?1(Re(s)?k) s?k例3、求正弦函数f(t)?sinkt(k为实数）的拉氏变换 解：L[sinkt]????0??e?st sinktedt?2(?s?sinkt?kcoskt)0s?k2?st?k(Res?0) 22s?k同理可求得余弦函数f(t)?coskt(k为实数）的拉氏变换

s(Res?0)

s2?k2二、拉普拉斯变换的存在定理

L[coskt]?若函数f(t)满足：

（1）在t?0的任一有限区间上分段连续；

（2）当t???时，f(t)的增长速度不超过某一指数函数，即存在常数M?0及c?0，使得|f(t)|?Me,(0?t???)，则f(t)的拉氏变换F(s)??ct??0f(t)e?stdt在半平面Re(s)?c上一定存在，并且在Re(s)?c的半平面内，F(s)为解析函数。

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证明：设s???j?，则|e?st|?e??t，所以

|F(s)|?|???0（??c)tf(t)edt|?M?e?dt

?st0??由Re(s)???c，可以知道右端积分在上半平面上收敛。关于解析性的证明省略。

注1：大部分常用函数的拉普拉斯变换都存在 注2：存在定理的条件是充分但非必要条件

对于任意函数来说，其拉普拉斯变换有三种情况，或者不存在，或者在整个复平面上存在，或者在一个半平面内存在。

三、单位脉冲函数?(t)的拉氏变换

对函数f(t)，若f(t)在t=0处有界，则??f(t)e?stdt?0，且

00??????0f(t)edt???f(t)edt???f(t)e?stdt

00?st???st??但对脉冲函数?(t)，由于???(t)dt???(t)dt?1

0??0???因此???(t)dt????(t)dt????(t)dt????(t)dt

00000?????那么在拉氏变换的定义中，积分式?理解成??f(t)e?stdt是个问题。

0????0f(t)edt是理解成??f(t)e?stdt还是

0?st??为了讨论这一情况，将函数f(t)在t?0时有定义扩充为t?0及t?0的一个邻域内有定义。这样拉氏变换的定义L[f(t)]????0f(t)e?stdt应理解为

???0?f(t)e?stdt，即

L[f(t)]????0f(t)edt???f(t)edt???f(t)e?stdt???f(t)e?stdt

000?st???st0???典型例题：

例、求单位脉冲函数?(t)的拉氏变换

解：L[?(t)]???(t)e?stdt????(t)e?stdt???(t)e?stdt?e?st00????????t?0?1

一般地L[?(t?t0)]???(t?t0)e?stdt?e?st0,t0?0

0??通常记??f(t)edt?L?[f(t)]，??f(t)e?stdt?L?[f(t)]

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