全国高中数学学习必备的初中知识技能（数与式的运算）打印

2011年陈经纶中学高一讲义 高中数学学习必备的初中知识技能 第一讲 数与式的运算

第一讲 数与式的运算

一、乘法公式

【公式1】(a?b?c)2?a2?b2?c2?2ab?2bc?2ca 【公式2】(a?b)(a2?ab?b2)?a3?b3(立方和公式) 【公式3】(a?b)(a2?ab?b2)?a3?b3(立方差公式)

请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系，公式1、2、3均称为乘法公式． 【例1】计算：(a?2)(a?2)(a4?4a2?16)

解：原式=(a2?4)(a4?4a2?42)?(a2)3?43?a6?64

2【例2】已知x?3x?1?0，求x?231的值． 3x解：?x?3x?1?0?x?0?x?1?3 x1211122原式=(x?)(x?1?2)?(x?)[(x?)?3]?3(3?3)?18

xxxx111111a(?)?b(?)?c(?)的值． bccaab【例3】已知a?b?c?0，求

解：?a?b?c?0,?a?b??c,b?c??a,c?a??b

?原式=a?b?ca?ca?b?b??c? bcacaba(?a)b(?b)c(?c)a2?b2?c2?????①

bcacababc?a3?b3?(a?b)[(a?b)2?3ab]??c(c2?3ab)??c3?3abc

?a3?b3?c3?3abc②，把②代入①得原式=?说明：注意字母的整体代换技巧的应用． 引申：同学可以探求并证明：

3abc??3 abca3?b3?c3?3abc?(a?b?c)(a2?b2?c2?ab?bc?ca)

二、根式

(3) 式子a(a?0)叫做二次根式，其性质如下： (1) (a)2?a(a?0)(2) a2?|a| ab?a?b(a?0,b?0)(4) 【例4】化简下列各式： (1)

bb?(a?0,b?0) aa(3?2)2?(3?1)2 (2)

(1?x)2?(2?x)2 (x?1)

第 1 页 共 5 页

2011年陈经纶中学高一讲义 高中数学学习必备的初中知识技能 第一讲 数与式的运算 解：(1) 原式=|3?2|?|3?1|?2?3?3?1?1

?(x?1)?(x?2)?2x?3 (x?2)(2) 原式=|x?1|?|x?2|??

(x?1)?(x?2)?1 (1?x?2) ?说明：请注意性质a2?|a|的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．

【例5】计算：(1) (a?b?1)(1?a?b)?(a?b)2(2)

aa?ab?aa?ab

解：(1) 原式=(1?b)2?(a)2?(a?2ab?b)??2a?2ab?2b?1

(2) 原式=aa(a?b)??aa(a?b)?1a?b?1a?b

?(a?b)?(a?b)(a?b)(a?b)2a a?b说明：有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算．

【例6】设x?2?32?3?,y?2?32?3，求x3?y3的值．

解：x?2?32?3(2?3)222?3?7?43,y?7?43 ? x?y?14,xy?1

原式=(x?y)(x2?xy?y2)?(x?y)[(x?y)2?3xy]?14(142?3)?2702

说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量．矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。

三、分式

当分式

AA的分子、分母中至少有一个是分式时，就叫做繁分式，繁分式的化简常用以BBx 1?xx?1x?x下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质．聞創沟燴鐺險爱氇谴净。 【例7】化简

解法一：原式=

x(x?1)x?1xxxx ???2??21?x(1?x)?xxxx?x?xxx?2x?x?x?1(x?1)(x?1)x?1x?1x第 2 页 共 5 页

2011年陈经纶中学高一讲义 高中数学学习必备的初中知识技能 第一讲 数与式的运算 解法一：原式=

x(x?1)xxxx?1???2?

(1?x)?xx(1?x)xxx?x?xx?x?x?21x?1x?1(x?)?xx说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解法二则是利用分式的基本性质

骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。 AA?m进行化简．一般根据题目特点综合使用两种方法．残?BB?mx2?3x?96xx?1??【例8】化简 226?2xx?279x?xx2?3x?96xx?116x?1解：原式= ?????(x?3)(x2?3x?9)x(9?x2)2(3?x)x?3(x?3)(x?3)2(x?3)2(x?3)?12?(x?1)(x?3)?(x?3)23?x ???2(x?3)(x?3)2(x?3)(x?3)2(x?3)说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分

解再进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式．酽锕极額閉镇桧猪訣锥。

第一讲 习题

A组 )

1．二次根式a2??a成立的条件是( A．a?0 B．a?0

C．a?0 ) C．－９

D．a是任意实数

2．若x?3，则9?6x?x2?|x?6|的值是( A．－３ 3．计算：

2B．３

2 D．９

(1) (x?3y?4z) (2) (2a?1?b)?(a?b)(a?2b)

(3) (a?b)(a2?ab?b2)?(a?b)2

(4) (a?4b)(a?4b?ab)

1422

4．化简：

第 3 页 共 5 页

(1)

mm1 9m?10m?2m2325m (2)

2x?2yx?y? (x?y?0) x2x2y2011年陈经纶中学高一讲义 高中数学学习必备的初中知识技能 第一讲 数与式的运算

B 组

1．若

113x?xy?3y的值为( )： ??2，则

xyx?xy?y3 5

B．? A．

3 5

C．?5 3 D．

5 32．计算：

(1) (a?b?c)(a?b?c)

(2) 1?(12?13)

x2?xy?y23．设x?，求代数式的值． ,y?x?y3?23?211

aba2?b24．当3a?ab?2b?0(a?0,b?0)，求??的值．

baab22

5．设x、y为实数，且xy?3，求x

6．已知a?值．

yx的值． ?yxy111x?20,b?x?19,c?x?21，求代数式a2?b2?c2?ab?bc?ac的202020第 4 页 共 5 页

2011年陈经纶中学高一讲义 高中数学学习必备的初中知识技能 第一讲 数与式的运算 7．设x?5?142，求x?x?2x?1的值． 2第 5 页 共 5 页