西城区2013期末试卷（北区）

22．阅读下面的材料：

小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x≤m，求二次函数y?x2?6x?7的最大值．他画图研究后发现，x?1和x?5时的函数值相等，于是他认为需要对m进行分类讨论．

y他的解答过程如下：

∵二次函数y?x2?6x?7的对称轴为直线x?3， ∴由对称性可知，x?1和x?5时的函数值相等． ∴若1≤m＜5，则x?1时，y的最大值为2； 若m≥5，则x?m时，y的最大值为m2?6m?7． 请你参考小明的思路，解答下列问题：

（1）当?2≤x≤4时，二次函数y?2x2?4x?1的最大值为_______； （2）若p≤x≤2，求二次函数y?2x2?4x?1的最大值； （3）若t≤x≤t+2时，二次函数y?2x2?4x?1的最大值为31，则t的值为_______．

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）

223．已知抛物线y1?x?2(1?m)x?n经过点（?1，3m?O1x=35x12）．

（1）求n?m的值；

（2）若此抛物线的顶点为（p，q），用含m的式子分别表示p和q，并求q与p之间 的函数关系式； （3）若一次函数y2??2mx?取值范围.

18，且对于任意的实数x，都有y1≥2y2，直接写出m的

24．以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB和△COD，其中

∠ABO=∠DCO=30°．

（1）点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，连接FM、EM．

①如图1，当点D、C分别在AO、BO的延长线上时，FM=_______；

EM②如图2，将图1中的△AOB绕点O沿顺时针方向旋转?角（0????60?），其 他条件不变，判断FM的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；

EM（2）如图3，若BO=33，点N在线段OD上，且NO=2.点P是线段AB上的一个动点，

在将△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为_______，最大值为_______．

CEAOBAMEOMBFDCFD图1

图2

25．如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y?12x?bx?c与x轴交于A、B两点，点C2是AB的中点，CD⊥AB且CD=AB.直线BE与y轴平行，点F是射线BE上的一个动点，连接AD、AF、DF. （1）若点F的坐标为（

92，1），AF=17. ①求此抛物线的解析式；

②点P是此抛物线上一个动点，点Q在此抛物线的对称轴上，以点A、F、P、Q为

顶点构成的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标；

（2）若2b?c??2，b??2?t，且AB的长为kt，其中t?0.如图2，当∠DAF=45°

时，求k的值和∠DFA的正切值.

北京市西城区2012—2013学年度第一学期期末试卷（北区）

九年级数学参考答案及评分标准 2013.1

一、选择题（本题共32分，每小题4分） 题号 1 2 3 4 答案 D D C B 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 题号 9 10 答案 6π y1?y2 5 A 6 D 7 C 8 B 11 12 ②④ 15°或75° 阅卷说明：第11题写对一个答案得2分. 第12题只写②或只写④得2分；有错解得0分.

三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解：原式?2?3?4?(3)2?2222?................................. 4分 3 ?6?3. ................................................... 5分

14．解：（1）y?x2?4x?1 ?(x2?4x?4)?3

?(x?2)2?3 .............................................. 2分 （2）∵抛物线y?x2?4x?1的顶点坐标为(2,?3)， ................... 3分

∴平移后的抛物线的顶点坐标为(3,?1). ......................... 4分

∴平移后所得抛物线的解析式为y?(x?3)2?1?x2?6x?8. ..... 5分 15．解：在Rt△DBC中，∠C=90°，sin∠CBD=

23，DB=6，(如图1)

DC∴CD?DB?sin?CBD?6?2?4. ……………1分

3∴AD?12CD?212?4?22. ………………………2分 A图1

22B∵CB?BD?CD?6?4?25， ............................... 3分

AC= AD+CD=2+4=6， ............................................ 4分 在Rt△ABC中，∠C=90°，

∴tanA?CBAC?256?53COEADB. ........................................ 5分

16．（1）证明：如图2.

∵OC=OB，

∴∠BCO=∠B.

∵∠B=∠D，

∴∠BCO=∠D. ………………………………2分 （2）解：∵AB是⊙O 的直径，且CD⊥AB于点E， ∴CE?12CD?12图2

3分 ?42?22. ............................... 在Rt△OCE中，OC2?CE2?OE2，

设⊙O的半径为r，则OC=r，OE=OA?AE=r?2， ∴r2?(22)2?(r?2)2. ....................................... 4分