基于ELM的切换非线性动态系统神经网络控制

贵州大学硕士学位论文

2n?1????zn1n?1??(n?1)kT(n?1)ku??x?d(y)d(y)?k???l?1ekfk44??x2?x?xl?1e,f?1lef??k1?n?1?3LVk?zn??22n?1n?1?????(n?1)k??(n?1)k????(n?1)k???3???1??2z???n??????4?k22n?m,l?1??xm??xl??xl??l?1?????i?1??i?1?2????34?11(i?1)k(i?1)kT3??ik???k1i?4?zi??xl?1??dek(y)dfk(y)???44??x2?x?x??n?1l?1e,f?1lefk1?i?1???3? ??zi?22i?1i?1????i?2???(i?1)k??(i?1)k??(i?1)k??3???2?1????zi??2???????4?k2i??xm?xl??xl?l?1??m,l?1????2??3433n2iT3?z??1k?(?k11?2)z1???k2i???mk(y)?lk(y)?z1?44?k214i?1m,l?1??31*??3???kj?h3?????znM(ajy?bj)???hk?k?zn???pqj?1k??k? ??*kj (4.16)

?,??*和伪神经控制律u 如果选择如下的伪自适应律h kkkj

?*??pz3M(ay?b),j?1,2,?,? (4.18)?kjknjj

2?343?3n2iT3(4.19)?1k??ck1z1???k11?2?z1???k2i??mk(y)?lk(y)z14?k21?4i?1m,l?1 ?4

???qz3 (4.17)hkkn??i?1??i?1?2??34?11(i?1)k(i?1)kT?ik??ckizi???k31i?4?zi??xl?1??dek(y)dfk(y)

?4?4?k1?i?1???xl2e,f?1?xe?xfl?1?i?1???(i?1)k?3?i?1???(i?1)k??(i?1)k??2?1????2????4?k2i?m,l?1??xm?xl??xl?l?1??22??zi,i?2,3,?,n?1(4.20)? ?uk??cknzn?zn4?k41?n?1???l?1n?1??(n?1)k?xl1n?1??(n?1)kTxl?1??dek(y)dfk(y)

2e,f?1?xe?xf222n?1n?1?????(n?1)k??(n?1)k??(n?1)k??3??2?1???zn (4.21) ??2??????4?k2n?xm?xl??xl?l?1??m,l?1??其中cki,i?1,2,?,n是已知正实数。基于ELM训练的单隐层前馈神经网络的激活函数M(ajy?bj),j?1,2,?,?可选用Sigmoidal函数、Sine函数、Hardlim函数、三角基函数和径向基函数等。则李雅普洛夫函数(4.11)沿着切换系统(4.1)的第

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k个子系统的轨迹的无穷小算子LVk是负定的。

LVk???i?1ckizi4

n根据定理2.2，伪自适应律和伪神经控制律(4.17)-(4.21)可以保证切换系统(4.1)的第k个子系统是以概率全局渐进稳定的。

注4.4：与文献[10,17,40,43,45,53]比较，本机制极大地降低了使用backstepping技术或者神经网络控制方法所设计的随机系统控制器的计算复杂性。本机制中的伪神经控制器具有相对简单的结构，它仅是一个由系统状态所构成的简单函数。伪神经控制器的性能不受神经网络算法参数变化的影响，基于不同种类的神经网络算法所设计的伪神经控制器和基于不同种激活函数的同一神经网络算法所设计的伪神经控制器具有相同的结构。神经网络算法仅在伪神经控制器的设计过程中起过渡的作用。为此，我们称这种机制为伪神经控制机制(伪神经控制机制的控制方案主要由伪自适应律和伪神经控制律构成)。

注4.5：与传统的神经网络控制机制比较，神经控制器仅是一个由系统状态

?,??*的变化不会影响伪神经控制器的结构，所以伪所构成的简单函数，参数律hkkj神经控制机制并不属于自适应控制方法。为了区别传统神经网络控制中的自适应

?,??*为伪自适应律，相应的神经控制器为伪神经控制器。律，我们称这种参数律h kkj4.2.4 切换律设计

在伪自适应律和伪神经控制律(4.17)-(4.21)的作用下，4.2.4节主要依据各个子系统的衰减速度来设计切换系统(4.1)的切换律。

依据4.2.3节中的理论和多李雅普洛夫函数方法，可以用如下的方式去安排系统切换来保证切换系统(4.1) 是以概率全局渐进稳定的[7]。

设t0为初始时刻。设定初始条件

x(t0)?(x1(t0),x2(t0),?,xn(t0))T (4.22)

?(t0)?argmin{LVk(t0)}1?k?N (4.23)

其中符号“argmin”表示达到最小值的指标。

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取第一次切换时刻和相应的切换指标分别为

t1?inft?t0thereexistsai??,i??(t0)suchthatLVi(t1)?LV?(t0)(t1)?? (4.24)

(4.25)

?(t1)?argmin?LVk(t1)?1?k?N

按照递归法，第s次切换时刻和相应的切换指标应分别为

ts?inft?ts?1thereexistsai??,i??(ts?1)suchthatLVi(ts)?LV?(ts?1)(ts),s?2

??

(4.26) (4.27)

?(ts)?argmin?LVk(ts)?,s?21?k?N

其中s表示第s次切换。此外，结合4.2节中的计算方法，可以导出李雅普洛夫函数(4.11)沿着切换系统(4.1)的第k个子系统的轨迹的无穷小算子为

22?n?1n?1?????????????13(n?1)k(n?1)k(n?1)k4?LVk?zn??ckn?4?2?1?????2???????4?k1?n?1?4?k2n?xm?xl??xl??l?1??m,l?1??? ?n?1i?1??i?1?2???1(i?1)k(i?1)k3T??zi?xi?1??xl?1??dek(y)dfk(y)????x2?x?xi?1l?1e,f?1lef??i?1??i?1?????3(i?1)k(i?1)k2???zi?dik(y)??dlk(y)??dik(y)??dlk(y)? (4.28) 2i?1??xl?xll?1l?1???nT注4.6：切换律的设计方法能够保证其有效性。式(4.28)可由伪神经控制机制(4.17)-(4.21)和式(4.13)计算，相应的切换律可按式(4.22)-(4.27)进行递归计算。

根据4.2节中的稳定性分析，可以得到理论4.1。

理论4.1：在伪神经切换控制机制(4.17)-(4.28)的作用下，严格反馈形式的切换非线性随机系统(4.1)是以概率全局渐近稳定的。

4.2.5 仿真

在4.2.5节中，我们将要给出一个数值仿真例子来验证前面所得结论的正确性。仿真例子是基于Matlab下编写并在微型计算机(搭载主频2.6GHZ的AMD速龙双核处理器)下运行的程序。

例4.1: 考虑N?2的严格反馈形式的切换非线性随机系统，它的两个子系统为

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?dx1?x2dt?x1d???1?dx2?x1ex1In(x12?1)dt?u1dt?x1(x1?1)d? ， ?y?x1??dx1?x2dt?x1d??和 ?2?dx2?2x1?1(1?x1)2sinx1dt?u2dt?x1sinx1d?

?y?x1?依据4.2节提出的伪神经切换控制机制(4.17)-(4.28)，结合4.2节中的计算方法，例4.1中闭环系统的伪自适应律和伪控制律应为

3?h?(t)??q?(t)z23?*??(t)j??p?(t)z2M(ajy?bj),j?1,2,?,? i?3423?322T3?1?(t)??c?(t)1z1????(t)11?2z???(t)2i???m?(t)(y)?l?(t)(y)?z1??4?14?2?i?1m,l?1?(t)21??2??1?(t)z21??1?(t)Tu?(t)??c?(t)2z2?4?x2?d1?(t)(y)d1?(t)(y)24??(t)11?x12?x1?324??(t)222????1?(t)?4???1?(t)???1???2?z2?????x1???x??1???其中?(t)表示在式(4.22)-(4.27)中所设计的切换律, 相应的李雅普洛夫函数沿着例4.1中切换系统的第k个子系统的轨迹的无穷小算子为

42????????1k??1k??3134???z1x2LVk?z2??ck2?4?2?1???2?????4?k114?k22???x1???x1??????i?1??i?1?????322?(i?1)k(i?1)k??zi?dik(y)??dlk(y)??dik(y)??dlk(y)?2i?1??xl?xll?1l?1???T

*在例4.1中，初始条件为x?(t)(0)?(0.5,?0.5)T,h?(t)(0)?0,??(t)j(0)?0和

u?(t)(0)?0。设控制器设计参数如下q?(t)?p?(t)???(t)11???(t)21???(t)22?c?(t)1?c?(t)2?1。单隐层前馈神经网络的隐藏层节点数为20。此外，附加节点激活函数

M(ajy?bj)?sin(aj?y?bj)被用于仿真实例中的计算。依据ELM算法的性质，单隐层前馈神经网络的隐层节点参数(aj,bj)(输入权重和阈值)是各自在区间[?1,1]和区间[0,1]上随机选取的。由图4-1到图4-6看出，本章提出的伪神经切换控制机制(4.17)-(4.28)很好的完成使闭环系统(4.1)达到全局渐近稳定的控制目标。

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