基于ELM的切换非线性动态系统神经网络控制

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附加节点的单隐层前馈神经网络作为函数逼近工具的伪神经控制机制。

4.2.2 误差动态

根据ELM算法的性质，当闭环系统(4.1)中的未知非线性函数mk(y),k??被由ELM训练的带有附加节点的单隐层前馈神经网络逼近时，单隐层前馈神经网络的隐藏层节点参数(输入权重和阈值)不必在训练期间进行调整；在没有任何目标函数先验信息的前提下单隐层前馈神经网络的隐藏层节点参数可以依据任意给定的连续概率分布随机生成。在这种情况下，方程式?k?k??实际上是一个线性系统。函数mk(y),k??的近似模型为

?k(y,?k)??j?1?kjM(akjy?bkj)m?

(4.4)

?k(y,?k)中存在的隐其中?表示单隐层前馈神经网络的隐藏层节点数目。既然m??,是随机指定的，那么我们就用通用参数集藏层节点参数?akj,bkj?,j?1,2,??,去简化它的表达形式。为此，式(4.4)简化为 ?a,b?,j?1,2,jj?k(y,?k)??j?1?kjM(ajy?bj)m?

(4.5)

对于确定的隐藏层节点参数?aj,bj?,j?1,2,?,?，训练单隐层前馈神经网络实际上可简单地等效为寻找输出权重向量?k???kT1,?kT2,?,?kT??的最小二乘解。

T依据单隐层前馈神经网络的通用逼近理论，在逼近非线性函数mk(y)的过程中存在最优输出权重向量

???????argmin?supmk(y)???kjM(ajy?bj)?,1?j?? (4.6)

?kj??j?1?y??????kj使非线性函数mk(y)具有如下模型

?k(y,??mk(y)?mk)?hk(y),k?? (4.7) 其中hk(y),k??是逼近误差。

注4.1:文献[14]已证明，当单隐层前馈神经网络的隐藏层节点数目H不多于

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?时，有区别的训练样本的数目?基于ELM算法训练的单隐层前馈神经网络能够以

零误差逼近所有的训练样本。

根据式(4.6)和式(4.7)，闭环系统(4.1)进一步转换为

?dxi?xi?1dt?di?(t)(y)d?,i?1,2,?,n?1?*??(t)(y,???dxn?m(t))dt?h?(t)(y)dt?u?(t)dt?dn?(t)(y)d? (4.8)

??y?x1注4.2: 非线性函数mk(y),k??被由ELM训练的带有附加节点的单隐层前馈神经网络逼近。根据ELM算法的性质，单隐层前馈神经网络的隐藏层节点参数(输入权重和阈值)不必在训练期间进行调整；在没有任何目标函数先验信息的前提下单隐层前馈神经网络的隐藏层节点参数可以依据任意给定的连续概率分布随机生成。不同于原始的ELM算法，4.2节利用一个保证了闭环系统稳定的李雅

*普洛夫函数综合合成单隐层前馈神经网络的最优输出权重向量??(t)。

运用Backstepping技术设计闭环系统(4.1)的控制器。按照Backstepping设计的理念，定义如下坐标变换

??z1?y (4.9) ?z?x??y,x,?,x,2?i?n?i(i?1)?(t)?2i?1??i其中光滑函数?(i?1)?(t)?y,x2,?,xi?1?,2?i?n表示即将在4.2节中进行设计的虚拟

?微分规则)和坐标变换(4.9)，控制器。 依据引理2.1(Ito闭环系统(4.8)变换为

?dz1??z2??1?(t)?dt?d1?(t)(y)d??2i?1?????1i?1??(i?1)?(t)T(i?1)?(t)xi?1??xl?1??de?(t)(y)df?(t)(y)?dt?dzi?????x2?x?xl?1e,f?1?lef???i?1???????di?(t)(y)??(i?1)?(t)dl?(t)(y)?d?,2?i?n?1??xll?1?????n?1?????(n?1)?(t)*?m(y,?)?h(y)?u?x???(t)?(t)?(t)?(t)l?1???xl?1l?dt?dz????n?1n?1?2?(n?1)?(t)T?????de?(t)(y)df?(t)(y)????2e,f?1?xe?xf??n?1?????(n?1)?(t)?d(y)?d(y)?n?(t)?d??l?(t)??xl?1l??? (4.10)

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4.2节提出了伪神经控制机制。一方面，本机制极大地降低了使用backstepping技术或者神经网络控制方法所设计的控制器的计算复杂性。本机制中的伪神经控制器具有相对简单的结构，它仅是一个由系统状态所构成的简单函数。本机制也解决了隐结点数量最优化选择的难题。另一方面，本机制中运用ELM算法而非传统的神经网络算法进行函数逼近。未知系统非线性时滞项被归入一个单输入单输出函数，此函数仅需要一个基于ELM训练的带有附加节点的单隐层前馈神经网络加以补偿。

4.2.3节介绍基于ELM算法的伪神经控制机制中的子系统伪神经控制器和子系统伪自适应律的设计过程。

4.2.3子系统伪神经控制器设计

为了设计子系统伪神经控制器和子系统伪自适应律，引入如下的李雅普洛夫函数

1n41Vk??zi?4i?12pkhk2 (4.11) (?)??2qkj?1?*2kj*其中?kj是在式(4.6)中定义的单隐层前馈神经网络的最优输出权重向量，hk是在

式(4.7)中定义的有限近似误差，pk,qk是已知常数，?是单隐层前馈神经网络的隐藏层节点数。

注4.3：四次形式李雅普洛夫函数能够轻松地简化引理1中的单项式

1?T?2VTr?g2??x2?g?，所以文献[13-14]中选用四次形式李雅普洛夫函数而不是二次?形式李雅普洛夫函数。为此，式(4.11)中也选用了四次形式李雅普洛夫函数单项

11n4式?zi。另外，式(4.11)中使用单项式4i?12pkbackstepping技术引入的多余项。

hk2抵消被(?)和单项式?2qkj?1?*2kj根据定理2.2，李雅普洛夫函数(4.11)沿着切换系统(4.1)的第k个子系统的轨迹的无穷小算子LVk应为

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n?1????*?(n?1)k?M(ay?b)?h(y)?u?x???kjjjkkl?1??xl?1l?3?j?1LVk?zn2?1n?1???(n?1)kT????dek(y)dfk(y)?2e,f?1?x?x?ef??i?1??i?1?????3n2?(i?1)k??zi?dik(y)??dlk(y)??dik(y)??(i?1)kdlk(y)?2i?1??xl?xll?1l?1???2i?1????1i?1??(i?1)kT(i?1)k??z?xi?1??xl?1??dek(y)dfk(y)????xl2e,f?1?xe?xfi?1l?1??n?13iT (4.12)

1?pk?hkh????k?qkj?1?**kjkj利用坐标变换(4.9)和，式(4.12)变为

n?1??n?1?2???1(n?1)k(n?1)k3TLVk?zn?uk??xl?1??dek(y)dfk(y)?

???x2?x?xl?1e,f?1lef?? ??zzi?1nn?13ii?12i?1??? ?1i?1??(i?1)kT(i?1)k??z??ik??xl?1??dek(y)dfk(y)????xl2e,f?1?xe?xfi?1l?1??n?13iTi?1??i?1?????3(i?1)k2???zi?dik(y)??dlk(y)??dik(y)??(i?1)kdlk(y)?2i?1??xl?xll?1l?1??? (4.13)

?*?3?kj????znM(ajy?bj)??pkj?1??*kj???h3?k?h?z?n??k?q?k??根据引理2.2(Young不等式)和式(4.2),可以获得如下不等式去简化上述等式(4.13)。

4n?14nz31zi3zi?1???k31izi4??4i (4.14) ? 4i?14i?2?k1?i?1?i?1n?1i?1??i?1?????3(i?1)k(i?1)k2?dlk(y)??dik(y)??dlk(y)??zi?dik(y)??2i?1??x?xl?1l?1ll???nTi?1i?1?????(i?1)k??(i?1)k??(i?1)k3n1???2?1????2???4i?1?k2i?m,l?1??xm?xl??xll?1??2?

??2??zi4 ?? (4.15)

23n2iT???k2i???mk(y)?lk(y)?z144i?1m,l?1把式(4.14)-(4.15)代入式(4.13),

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