全等三角形证明经典50题（含答案）

22．（6分）如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M． （1）求证：MB=MD，ME=MF

（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．

（1）连接BE，DF．

∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F， ∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF， 在Rt△DEC和Rt△BFA中， ∵AF=CE，AB=CD，

∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL）， ∴DE=BF．

∴四边形BEDF是平行四边形． ∴MB=MD，ME=MF； （2）连接BE，DF．

∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F， ∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF， 在Rt△DEC和Rt△BFA中， ∵AF=CE，AB=CD，

∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL）， ∴DE=BF．

∴四边形BEDF是平行四边形． ∴MB=MD，ME=MF．

23．已知：如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点， （1）求证：△AED≌△EBC．

（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面A积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：

EOD .

BC

证明： ∵DC∥AB

∴∠CDE＝∠AED ∵DE＝DE，DC＝AE ∴△AED≌△EDC ∵E为AB中点 ∴AE＝BE ∴BE＝DC ∵DC∥AB

∴∠DCE＝∠BEC ∵CE＝CE

∴△EBC≌△EDC ∴△AED≌△EBC 24．（7分）如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．

求证：BD=2CE． F

A

ED 证明：

BC∵∠CEB=∠CAB=90°

∴ABCE四点共元 ∵∠AB E=∠CB E ∴AE=CE ∴∠ECA=∠EAC

取线段BD的中点G，连接AG，则：AG=BG=DG ∴∠GAB=∠ABG

而：∠ECA=∠GBA (同弧上的圆周角相等） ∴∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB 而：AC=AB

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∴△AEC≌△AGB ∴EC=BG=DG ∴BE=2CE

25、如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。求证：△AED≌△BFC。

DEFCAB

证明：∵DF=CE， ∴DF-EF=CE-EF， 即DE=CF，

在△AED和△BFC中，

∵ AD=BC， ∠D=∠C ，DE=CF ∴△AED≌△BFC（SAS）

26、（10分）如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。

求证：AM是△ABC的中线。

AFBEMC

证明： ∵BE‖CF

∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCM ∵BE=CF ∴△BEM≌△CFM ∴BM=CM

∴AM是△ABC的中线.

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27、（10分）如图：在△ABC中，BA=BC，D是AC的中点。求证：BD⊥AC。

ADBC

∵△ABD和△BCD的三条边都相等 ∴△ABD=△BCD ∴∠ADB=∠CD ∴∠ADB=∠CDB=90° ∴BD⊥AC

28、（10分）AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。求证：BF=CF

ADBCF

在△ABD与△ACD中 AB=AC BD=DC AD=AD

∴△ABD≌△ACD ∴∠ADB=∠ADC ∴∠BDF=∠FDC 在△BDF与△FDC中 BD=DC ∠BDF=∠FDC DF=DF

∴△FBD≌△FCD ∴BF=FC

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