高中数学奥赛辅导系列-数论初步—数的整除性

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数学的整除性

整数的整除性

定义：设a，b为二整数，且b≠０，如果有一整数c，使a＝bc，则称b是a的约数，a是b的倍数，又称b整除a，记作b|a．

显然，1能整除任意整数，任意整数都能整除0． 性质：设a，b，c均为非零整数，则 ①．若c|b，b|a，则c|a． ②．若b|a，则bc|ac ③．若c|a，c|b，则对任意整数m、n，有c|ma＋nb ④．若b|ac，且(a，b)＝1，则b|c 证明：因为(a，b)＝1

则存在两个整数s，t，使得 as＋bt＝1 ∴ asc＋btc＝c ∵ b|ac ? b|asc ∴ b|(asc＋btc) ? b|c ⑤．若(a，b)＝1，且a|c，b|c，则ab|c 证明：a|c，则c＝as(s∈Z) 又b|c，则c＝bt(t∈Z) 又(a，b)＝1 ∴ s＝bt'(t'∈Z) 于是c＝abt' 即ab|c ⑥．若b|ac，而b为质数，则b|a，或b|c ⑦．(a－b)|(an－bn)(n∈N)，(a＋b)|(an＋bn)(n为奇数) 整除的判别法：设整数N＝a1an?1?a2a1 ①．2|a1?2|N ， 5|a1? 5|N ②．3|a1＋a2＋…＋an ?3|N

9|a1＋a2＋…＋an ?9|N ③．4|a2a1 ? 4|N 25|a2a1 ? 25|N ④．8|a3a2a1?8|N 125|a3a2a1?125|N ⑤．7||anan?1?a4－a3a2a1|?7|N ⑥．11||anan?1?a4－a3a2a1|?11|N

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⑦．11|[(a2n＋1＋a2n－1＋…＋a1)－(a2n＋a2n－2＋…＋a2)] ?11|N

⑧．13||anan?1?a4－a3a2a1|?13|N 推论：三个连续的整数的积能被6整除． 例题：

1．设一个五位数abcad，其中d－b＝3，试问a，c为何值时，这个五位数被11整除． 解：11|abcad ∴ 11|a＋c＋d－b－a 即11|c＋3 ∴ c＝8

1≤a≤9，且a∈Z

2．设72|a673b，试求a，b的值． 解：72＝8×9，且(8，9)＝1 ∴ 8|a673b，且9|a673b ∴ 8|73b ? b＝6

且 9|a＋6＋7＋3＋6 即9|22＋a ∴ a＝5

3．设n为自然数，A＝3237n－632n－855n＋235n， 求证：1985|A． 证明：∵1985＝397×5

A＝(3237n－632n)－(855n－235n) ＝(3237－632)×u－(855－235)×v(u，v∈Z) ＝5×521×u－5×124×v ∴5|A

又A＝(3237n－855n)－(623n－235n)

＝(3237－855)×s－(623－235)×t(s，t∈Z)

＝397×6×s－397×t ∴ 397｜A 又∵(397，5)＝1 ∴397×5｜A 即1985｜A

4．证明：没有x，y存在，使等式x2＋y2＝1995(x，y∈Z)成立． 证：假设有整数x，y存在，使x2＋y2＝1995成立． ∵x2，y2被4除余数为0或1． ∴x2＋y2被4除余数为0，1或2．

又∵1995被4除余数为3．

∴得出矛盾，假设不成立．

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故没有整数x，y存在，使x2＋y2＝1995成立． 费马小定理：若p是素数，(m，p)＝1 则 p|mp-1－1

5．试证：999…9能被13整除．

12个

证明：∵10－1＝9，100－1＝99，…，1012－1＝999…9．

个

12

又（10，13）=1

－

∴13｜(10131－1)，即13｜(1012－1) ∴13 ｜999…9．

个

12

6．请确定最小的正整数A，其末位数是6，若将未位的6移至首位，其余数字不变，其值变为原数的4倍．

解：设该数为A＝anan?1an?2?a1，其中a1＝6 令x＝anan?1an?2?a2 则A＝x6＝x·10＋6 于是4A＝6x＝6×10n-1＋x 即有4×10x＋24＝6×10n-1＋x

2(10n?1?4) x＝

13∵ (2，13)＝1，x是整数 ∴ 13|(10n-1－4)

n＝1，2时，10 n-1－4＜10显然不满足条件 n＝3时，10 n-1－4＝96 不满足条件 n＝4时，10 n-1－4＝996 不满足条件 n＝5时，10 n-1－4＝9996不满足条件 n＝6时，10 n-1－4＝99996 满足条件

2?99996∴ x＝＝15384

13即A＝153846

7．一个正整数，如果用7进制表示为abc，如果用5进制表示为cba，请用10进制表示这个数． 解：由题意知：0＜a，c≤4，0≤b≤4，设这个正整数为n，则

n＝abc＝a×72＋b×7＋c， n=cba=c×52＋b×5＋a ∴49a＋7b＋c＝25c＋5b＋a 48a＋2b－24c＝0 b＝12(c－2a) ∴12｜b，

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又∵0≤b≤4

∴b＝0，

∴c＝2a ∴当a＝1，c＝2时，n＝51 当a＝2，c＝4时，n＝102 练习：

1．证明：设N＝19881988－19861986，则1987∣N 2．设n是自然数，求证n5－n可被30整除．

3．请确定最小的正整数A，其末位数为2，若将末位数2移至首位，其余数字不变，则是原数的2倍．

4．一个正整数，若用9进制表示为abc，若用7进制表示为cba，请用10进制表示此数． 5．五位数4a67a能被4整除，最末两位组成的数7a能被6整除，求此五位数．

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