[走向高考]（2013春季发行）高三数学第一轮总复习 10-9随机变量的数字特征与正态分布 理 新人教A版

[答案] C

11?3a＋b?211

[解析] 由条件知，3a＋b＝1，∴ab＝(3a)·b≤·?＝，等号在3a＝b＝，?33?2?12211

即a＝，b＝时成立．

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4．(2012·重庆理，17)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中1者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，31

乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．

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(1)求甲获胜的概率；

(2)求投篮结束时甲的投球次数ξ的分布列与期望．

[分析] (1)“甲获胜”的含义是：第一次甲中，或者第一次甲、乙都不中、第二次甲中，或者第一、二次甲、乙都不中，第三次甲中．

(2)“甲投球次数”ξ的取值为1、2、3，ξ＝1表示第一次甲中；ξ＝2表示第一次甲、乙都未中，第二次甲中；ξ＝3表示第一、二次甲、乙都不中，第三次甲中．

[解析] 设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则

P(Ak)＝，P(Bk)＝，(k＝1,2,3)．

(1)记“甲获胜”为事件C，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知

1

312

P(C)＝P(A1)＋P(A1B1A2)＋P(A1B1A2B2A3)

＝P(A1)＋P(A1)P(B1)P(A2)＋P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)P(A3) 121122121＝＋××＋()×()× 332332313＝. 27

(2)ξ的所有可能值为1,2,3. 由独立性知

P(ξ＝1)＝P(A1)＋P(A1B1)＝＋×＝， P(ξ＝2)＝P(A1B1A2)＋P(A1B1A2B2)

21122122＝××＋()()＝， 323329

12

331223

P(ξ＝3)＝P(A1B1A2B2)

9

22121＝()×()＝. 329综上知，ξ的分布列为：

ξ 1 2 32 2 93 1 9P 22113从而，E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝(次)．

3999

[点评] 求事件发生的概率与分布列、期望是高考中的常见题型，求解时要弄清事件的性质以及可能性．

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