2017-2018学年度石家庄实验中学高二理科数学试题含答案

2017—2018学年度石家庄实验中学期末考试

高二理科数学试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1、已知集合A??xx2?10x?16?0?，B??xy?log2(x?2)?，则A?B?( ) A．(8,??) B．?8,??? C．?2,8? D.(2,??) 2、在复平面中，复数

1(1?i)2?1?i对应的点在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3、已知p,q是两个命题，那么“p?q是真命题”是“非p是假命题”的( ) A．充分不必要 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4.、观察下列各式：a?b?1,a2?b2?3,a3?b3?4,a4?b4?7,a5?b5?11,?,则a10?b10等于( )

A．28 B．76 C．123 D．199

5、已知函数f(x)?lnx?(12)x?2的零点为x0，则x0所在的区间是( ) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 6、已知命题p：“?xx00?R,e?x0?1?0”，则非p为( )

A．?xx00?R,e?xx00?1?0 B．?x0?R,e?x0?1?0

C．?x?R,ex?x?1?0 D．?x?R,ex?x?1?0

7、若a?20.3,b?log?3,c?log4cos100，则( )

A．b?c?a B．a?b?c C．b?a?c D．c?a?b 8、函数y?11?x的图象与函数y?2sin?x(?2?x?4)的图象所有交点的横坐标之和等于( ) A．2 B．4 C．6 D．8

9、现有A,B,C,D,E,F六支足球队参加单循环比赛（即任意两支球队只踢一场比赛），在第一周的比赛中，A,B各踢了3场，C,D各踢了4场，E踢了2场，且A队与C队未踢过，B队与D队也未踢过，则在第一周的比赛中，F队踢的比赛的场数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

10、定义R在上的偶函数f(x)满足f(2?x)?f(x)，且当x??1,2?时，f(x)?lnx?x?1；若函数g(x)?f(x)?mx有7个零点，则实数m的取值范围为（ ）

A． (ln2?1ln2?116,?ln21?ln2ln2?1ln2?18)?(8,6) B．(6,8) C．(1?ln21?ln2ln2?11?ln28,6) D．(6,8) 11、对于问题“已知关于x的不等式ax2?bx?c?0的解集为(?1,2)，解关于x的不等式

ax2?bx?c?0”

，给出一种解法：由ax2?bx?c?0的解集为(?1,2)，得a(?x)2?b(?x)?c?0的解集为(?2,1)，即关于x的不等式ax2?bx?c?0的解集为(?2,1).类比上述解法，若关于x的不等式ax3?bx2?cx?d?0的解集为(1,3)?(6,??)则关于x的不等式

ax3?3bx2?9cx?27d?0的解集为（ ）

A． (3,9)?(18,??) B．(1,1)?(2,??) C．(??,?18)?(?9,?3) D．(??,?2)?13(?1,?)

312、已知定义在实数集R上的偶函数f(x)，当x?0时，f(x)?ex，若存在实数t，对任意的

x??1,m?且(m?1,m?N)，都有f(x?t)?ex，则m的最大值为（ ）

A．2 B．3 C. 4 D． 5 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13、若函数y?ex的切线方程为y?mx，则m＝ . 14、已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为??x?3?3cos??y?1?3sin?,(?为参数），以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为?cos?(??6)?0，则圆C截直线l所得的弦长

为 .

15、已知函数f(x)?x?4x,g(x)?2x?a，若?x?1?1???2,3??,?x2??2,3?,使得f(x1)?g(x2)，

则实数a的取值范围是 .

16、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x?0时，f(x)?ex(x?1)，给出下列命题：

①当x?0时，f(x)??e?x(x?1)； ②函数f(x)有2个零点；

③f(x)?0的解集为(??,?1)?(0,1)

④?x1,x2?R,都有f(x1)?f(x2)?2其中正确的命题序号为 . 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17、（本题满分12分）

已知等差数列?an?的前n项和为Sn，其中a1?1,S10?100. (1) 求数列?an?的通项公式；

(2) 若b1n?(2)n?1，cn?an?bn，求数列?cn?的前n项和Tn. 18、（本题满分12分）

在三角形ABC中，a,b,c分别是内角A,B,C的对边，且(a?c)2?b2?3ac （1）、求角B的大小；

（2）、若b?2，且sinB?sin(C?A)?2sin2A，求三角形ABC的面积.

19、（本题满分12分）

在2017年全国高校自主招生考试中，某高校设计了一个面试考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立回答全部问题．规定：至少正确回答其中2题的便可通过．已知6道备选题中考生甲有4题能正确回答，2题不能回答；考生乙每题正确回答的概率都为2

3，且每

题正确回答与否互不影响．

(1)分别写出甲、乙两考生正确回答题数的分布列，并计算其均值； (2)试用统计知识分析比较两考生的通过能力． 20、（本题满分12分）

设椭圆C:x2y2 2a2?b2?1,(a?b?0)的一个顶点与抛物线x?43y的焦点重合，F1,F2分别

是椭圆C的左，右焦点，且离心率e?12，过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M,N两点． (1)求椭圆C的方程；

(2)若→OM·→

ON＝－2，求直线l的方程；

2(3)若AB是椭圆C经过原点O的弦，MN∥AB，求证：

ABMN为定值.

21、（本题满分12分）

已知f(x)?lnx?2ax,a?R.

（1）、若函数y?f(x)存在与直线2x?y?0平行的切线，求实数a的取值范围； （2）、设g(x)?f(x)?12x2，若g(x)有极大值点xlnx111，求证：x?2?a. 1x122、（本题满分10分）

在平面直角坐标系xOy中，以原点为极点， Ox轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相

??x?2?22t同的单位长度，曲线C?1的参数方程为??2(t为参数），曲线C2的参数方程为??y?2?2t??x?cos??y?1?sin?（?为参数）， （1）、求曲线C1，C2的极坐标的方程；

（2）、若射线l:???(??0)分别交C1，C2于点A,B，且OB?mOA，求m的最大值.

高二理科数学答案

BAAC CCBD DACC 13、e

14、42

15、???,0? 16、③④

此时三角形ABC的面积S?123bc?……………………………..9分 23若cosA?0,，则sinC?2sinA，由正弦定理可知，c?2a，代入a2?c2?b2?ac，整理得

10?9三、解答题：17、解： (1)由题意10?d?100,解得d?2

2所以an?2n?1…………………………4分

(2)an＝2n－1，bn?()n?1，故cn＝(2n－1) ?()n?1，………5分

3a2?4，解得a?2343123,?c?，，此时三角形ABC的面积S?acsinB? 33231212综上，三角形ABC的面积

23 ……………………………..12分319、解 (1)甲正确回答的题目数ξ可取1,2,3.

21

C11C23C314C24C24P(ξ＝1)＝3＝，P(ξ＝2)＝3＝，P(ξ＝3)＝3＝…………………….3分

C65C65C65

1111?Tn?1?3??5?2?7?3???(2n?1)?()n?1...........6分2222111111?Tn?1??3?2?5?3?7?4???(2n?1)?()n………….7分 2222221111111?Tn?1?2(?2?3?4???n?1)?(2n?1)?()n…………8分 222222211(1?n?1)12 ?1?2?2?(2n?1)?()n……………..9分

121?2ξ P 故其分布列为 1 1 52 3 53 1 5

131

E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝2…………………………………..5分

555

2

又乙正确回答的题目数η～B(3，)，其分布列为

3

η P 0 1 271 2 92 4 93 8 27?3?2n?3...............10分2n2n＋3

故Tn＝6－n－1...........12分

2

2218、解：（1）由(a?c)?b?3ac，整理得a2?c2?b2?ac，

2222

∴E(η)＝np＝3×＝2…………………………..8分

31312

(2)∵D(ξ)＝(2－1)2×＋(2－2)2×＋(2－3)2×＝，

5555

212

D(η)＝np(1－p)＝3××＝……………………………10分 ∴D(ξ)

33331412820

∵P(ξ≥2)＝＋＝，P(η≥2)＝＋＝，∴P(ξ≥2)>P(η≥2)．

555272727

从回答对题数的均值考查，两人水平相当；从回答对题数的方差考查，甲较稳定；从至少正确回答2题的概率考查，甲获得通过的可能性大．因此可以判断甲的通过能力较强．………..12分

由余弦定理得cosB??a?c?b1?，?0?B??,?B?.………….….4分

2ac23在三角形ABC中，A?B?C??，故sin(A?C)?sinB，由已知sinB?sin(C?A)?2sin2A可得sin(A?C)?sin(C?A)?2sin2A,?cosAsinC?2sinAcosA，……………………6分

223?若cosA?0,，则A?,由b?2，可得c?， tanB32

?20、 (1)解 由题意知，椭圆的一个顶点为(0，3)，即b＝3，e＝ca＝1

2，∴a＝2，

x24＋y2

∴椭圆的方程为3＝1……………3分.

(2)解 由题意可知，直线l与椭圆必相交．

①当直线斜率不存在时，经检验不合题意．……….4分

②当斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，且M(x1，y1)，N(x2，y2)． ?x2

2

由?y?4＋3＝1，

得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0， ??y＝k?x－1?

＋x8k2x4k2－1212＝3＋4k2，x1x2＝3＋4k2，…………………………..6分

\\s\%up6(→(→)OM→·\\s\%up6(→(→)ON→

＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2[x1x2－(x1＋x2)＋1] 4k2－1224k2－128k2＝－5k2－123＋4k2＋k(3＋4k2－3＋4k2＋1)＝3＋4k2＝－2，解得k＝±2， 故直线l的方程为y＝2(x－1)或y＝－2(x－1)……………...8分 (3)证明 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(x3，y3)，B(x4，y4)，由(2)可得 |MN|＝1＋k2|x1－x2|＝?1＋k2?[?x1＋x2?2－4x1x2] ＝

＋k?[?8k2?12

24k2－1212?k2＋1?3＋4k2?－4?3＋4k2?]＝3＋4k2，

?22

由?x?＋y43＝1，

消去y并整理得x2＝12

，?y＝kx

3＋4k2…………..10分

?48?1＋k2?

3?1＋k2|AB|＝1＋k2|x?|AB|2

3＋4k23－x4|＝4

3＋4k2，∴|MN|＝12?k2＋1?＝4，为定值……..．12分

3＋4k221、解：（1）因为f?(x)?1x?2a,x?0，函数y?f(x)存在与直线2x?y?0平行的切线，所以f?(x)?2在(0,??)上有解，即1x?2a?2,在(0,??)上有解，也即1x?2?2a在(0,??)上有解，所以2?2a?0，得a??1，故所求实数a的取值范围是(?1,??)…………….(4分)

（2）因为g(x)?f(x)?12x2?12x2?lnx?2ax，因为g?(x)?x?1x2?2ax?1x?2a?x，

①当?1?a?1时，g(x)单调递增无极值点，所以不合题意…………..(6分)

②当a?1或a??1时，令g?(x)?0，设x2?2ax?1?0的两根为x1和x2，因为x1为函数g(x)的极大值点，所以0?x1?x2，又x1x2?1,x1?x2?2a?0，且a?1,0?x1?1…………..8分

2所以g?(x11)?x1?x?2a?0，则a?x1?1，要证明lnx1?12?a，只需证明12x1x1x1x3?x3x11lnx1?1?12成立，即证明xx?x11lnx1?1?12?0,(0?x1?1)，…………10分 x3?x132令h(x)?xlnx?1?211?3x2,(0?x?1)，则h?(x)?2?lnx?2x,h??(x)?x?3x?x，当0?x?333时，h??(x)?0,当3?x?1时，所以，h??(x)?0,所以h?(x)3max?ln3?0，所

以h(x)在(0,1)上单调递减，所以h(x)?h(1)?0，原题得证………………..(12分)

??2?x?2?2t22、解：（1）、由?(t为参数）可得x?y?4， ?2??y?2?2t所以曲线Cx?cos?1的极坐标方程为?cos???sin??4；由??y?1?sin?（?为参数），

?得x2?(y?1)2?1，所以曲线C2的极坐标方程为??2sin?………………..5分 （2）、设

A(?1,?),B(?42,?),0???3?4,则?1?cos??sin?,?2,?2sin?，

m?OBOA??2112?1??2sin??(cos??sin?)?(1?sin2??cos2?)?sin(2??)??144444?0???即??3???5???当,???2???2???， ，4444422?13?时，m取得最大值为

4………………………………………………10分8