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2017-2018学年度石家庄实验中学高二理科数学试题含答案

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2017—2018学年度石家庄实验中学期末考试

高二理科数学试卷

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1、已知集合A??xx2?10x?16?0?,B??xy?log2(x?2)?,则A?B?( ) A.(8,??) B.?8,??? C.?2,8? D.(2,??) 2、在复平面中,复数

1(1?i)2?1?i对应的点在( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3、已知p,q是两个命题,那么“p?q是真命题”是“非p是假命题”的( ) A.充分不必要 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.、观察下列各式:a?b?1,a2?b2?3,a3?b3?4,a4?b4?7,a5?b5?11,?,则a10?b10等于( )

A.28 B.76 C.123 D.199

5、已知函数f(x)?lnx?(12)x?2的零点为x0,则x0所在的区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 6、已知命题p:“?xx00?R,e?x0?1?0”,则非p为( )

A.?xx00?R,e?xx00?1?0 B.?x0?R,e?x0?1?0

C.?x?R,ex?x?1?0 D.?x?R,ex?x?1?0

7、若a?20.3,b?log?3,c?log4cos100,则( )

A.b?c?a B.a?b?c C.b?a?c D.c?a?b 8、函数y?11?x的图象与函数y?2sin?x(?2?x?4)的图象所有交点的横坐标之和等于( ) A.2 B.4 C.6 D.8

9、现有A,B,C,D,E,F六支足球队参加单循环比赛(即任意两支球队只踢一场比赛),在第一周的比赛中,A,B各踢了3场,C,D各踢了4场,E踢了2场,且A队与C队未踢过,B队与D队也未踢过,则在第一周的比赛中,F队踢的比赛的场数是( )

A.1 B.2 C.3 D.4

10、定义R在上的偶函数f(x)满足f(2?x)?f(x),且当x??1,2?时,f(x)?lnx?x?1;若函数g(x)?f(x)?mx有7个零点,则实数m的取值范围为( )

A. (ln2?1ln2?116,?ln21?ln2ln2?1ln2?18)?(8,6) B.(6,8) C.(1?ln21?ln2ln2?11?ln28,6) D.(6,8) 11、对于问题“已知关于x的不等式ax2?bx?c?0的解集为(?1,2),解关于x的不等式

ax2?bx?c?0”

,给出一种解法:由ax2?bx?c?0的解集为(?1,2),得a(?x)2?b(?x)?c?0的解集为(?2,1),即关于x的不等式ax2?bx?c?0的解集为(?2,1).类比上述解法,若关于x的不等式ax3?bx2?cx?d?0的解集为(1,3)?(6,??)则关于x的不等式

ax3?3bx2?9cx?27d?0的解集为( )

A. (3,9)?(18,??) B.(1,1)?(2,??) C.(??,?18)?(?9,?3) D.(??,?2)?13(?1,?)

312、已知定义在实数集R上的偶函数f(x),当x?0时,f(x)?ex,若存在实数t,对任意的

x??1,m?且(m?1,m?N),都有f(x?t)?ex,则m的最大值为( )

A.2 B.3 C. 4 D. 5 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13、若函数y?ex的切线方程为y?mx,则m= . 14、已知在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为??x?3?3cos??y?1?3sin?,(?为参数),以Ox为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为?cos?(??6)?0,则圆C截直线l所得的弦长

为 .

15、已知函数f(x)?x?4x,g(x)?2x?a,若?x?1?1???2,3??,?x2??2,3?,使得f(x1)?g(x2),

则实数a的取值范围是 .

16、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x?0时,f(x)?ex(x?1),给出下列命题:

①当x?0时,f(x)??e?x(x?1); ②函数f(x)有2个零点;

③f(x)?0的解集为(??,?1)?(0,1)

④?x1,x2?R,都有f(x1)?f(x2)?2其中正确的命题序号为 . 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17、(本题满分12分)

已知等差数列?an?的前n项和为Sn,其中a1?1,S10?100. (1) 求数列?an?的通项公式;

(2) 若b1n?(2)n?1,cn?an?bn,求数列?cn?的前n项和Tn. 18、(本题满分12分)

在三角形ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且(a?c)2?b2?3ac (1)、求角B的大小;

(2)、若b?2,且sinB?sin(C?A)?2sin2A,求三角形ABC的面积.

19、(本题满分12分)

在2017年全国高校自主招生考试中,某高校设计了一个面试考查方案:考生从6道备选题中一次性随机抽取3题,按照题目要求独立回答全部问题.规定:至少正确回答其中2题的便可通过.已知6道备选题中考生甲有4题能正确回答,2题不能回答;考生乙每题正确回答的概率都为2

3,且每

题正确回答与否互不影响.

(1)分别写出甲、乙两考生正确回答题数的分布列,并计算其均值; (2)试用统计知识分析比较两考生的通过能力. 20、(本题满分12分)

设椭圆C:x2y2 2a2?b2?1,(a?b?0)的一个顶点与抛物线x?43y的焦点重合,F1,F2分别

是椭圆C的左,右焦点,且离心率e?12,过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M,N两点. (1)求椭圆C的方程;

(2)若→OM·→

ON=-2,求直线l的方程;

2(3)若AB是椭圆C经过原点O的弦,MN∥AB,求证:

ABMN为定值.

21、(本题满分12分)

已知f(x)?lnx?2ax,a?R.

(1)、若函数y?f(x)存在与直线2x?y?0平行的切线,求实数a的取值范围; (2)、设g(x)?f(x)?12x2,若g(x)有极大值点xlnx111,求证:x?2?a. 1x122、(本题满分10分)

在平面直角坐标系xOy中,以原点为极点, Ox轴为极轴建立极坐标系,并在两坐标系中取相

??x?2?22t同的单位长度,曲线C?1的参数方程为??2(t为参数),曲线C2的参数方程为??y?2?2t??x?cos??y?1?sin?(?为参数), (1)、求曲线C1,C2的极坐标的方程;

(2)、若射线l:???(??0)分别交C1,C2于点A,B,且OB?mOA,求m的最大值.

高二理科数学答案

BAAC CCBD DACC 13、e

14、42

15、???,0? 16、③④

此时三角形ABC的面积S?123bc?……………………………..9分 23若cosA?0,,则sinC?2sinA,由正弦定理可知,c?2a,代入a2?c2?b2?ac,整理得

10?9三、解答题:17、解: (1)由题意10?d?100,解得d?2

2所以an?2n?1…………………………4分

(2)an=2n-1,bn?()n?1,故cn=(2n-1) ?()n?1,………5分

3a2?4,解得a?2343123,?c?,,此时三角形ABC的面积S?acsinB? 33231212综上,三角形ABC的面积

23 ……………………………..12分319、解 (1)甲正确回答的题目数ξ可取1,2,3.

21

C11C23C314C24C24P(ξ=1)=3=,P(ξ=2)=3=,P(ξ=3)=3=…………………….3分

C65C65C65

1111?Tn?1?3??5?2?7?3???(2n?1)?()n?1...........6分2222111111?Tn?1??3?2?5?3?7?4???(2n?1)?()n………….7分 2222221111111?Tn?1?2(?2?3?4???n?1)?(2n?1)?()n…………8分 222222211(1?n?1)12 ?1?2?2?(2n?1)?()n……………..9分

121?2ξ P 故其分布列为 1 1 52 3 53 1 5

131

E(ξ)=1×+2×+3×=2…………………………………..5分

555

2

又乙正确回答的题目数η~B(3,),其分布列为

3

η P 0 1 271 2 92 4 93 8 27?3?2n?3...............10分2n2n+3

故Tn=6-n-1...........12分

2

2218、解:(1)由(a?c)?b?3ac,整理得a2?c2?b2?ac,

2222

∴E(η)=np=3×=2…………………………..8分

31312

(2)∵D(ξ)=(2-1)2×+(2-2)2×+(2-3)2×=,

5555

212

D(η)=np(1-p)=3××=……………………………10分 ∴D(ξ)

33331412820

∵P(ξ≥2)=+=,P(η≥2)=+=,∴P(ξ≥2)>P(η≥2).

555272727

从回答对题数的均值考查,两人水平相当;从回答对题数的方差考查,甲较稳定;从至少正确回答2题的概率考查,甲获得通过的可能性大.因此可以判断甲的通过能力较强.………..12分

由余弦定理得cosB??a?c?b1?,?0?B??,?B?.………….….4分

2ac23在三角形ABC中,A?B?C??,故sin(A?C)?sinB,由已知sinB?sin(C?A)?2sin2A可得sin(A?C)?sin(C?A)?2sin2A,?cosAsinC?2sinAcosA,……………………6分

223?若cosA?0,,则A?,由b?2,可得c?, tanB32

?20、 (1)解 由题意知,椭圆的一个顶点为(0,3),即b=3,e=ca=1

2,∴a=2,

x24+y2

∴椭圆的方程为3=1……………3分.

(2)解 由题意可知,直线l与椭圆必相交.

①当直线斜率不存在时,经检验不合题意.……….4分

②当斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0),且M(x1,y1),N(x2,y2). ?x2

2

由?y?4+3=1,

得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0, ??y=k?x-1?

+x8k2x4k2-1212=3+4k2,x1x2=3+4k2,…………………………..6分

\\s\%up6(→(→)OM→·\\s\%up6(→(→)ON→

=x1x2+y1y2=x1x2+k2[x1x2-(x1+x2)+1] 4k2-1224k2-128k2=-5k2-123+4k2+k(3+4k2-3+4k2+1)=3+4k2=-2,解得k=±2, 故直线l的方程为y=2(x-1)或y=-2(x-1)……………...8分 (3)证明 设M(x1,y1),N(x2,y2),A(x3,y3),B(x4,y4),由(2)可得 |MN|=1+k2|x1-x2|=?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2] =

+k?[?8k2?12

24k2-1212?k2+1?3+4k2?-4?3+4k2?]=3+4k2,

?22

由?x?+y43=1,

消去y并整理得x2=12

,?y=kx

3+4k2…………..10分

?48?1+k2?

3?1+k2|AB|=1+k2|x?|AB|2

3+4k23-x4|=4

3+4k2,∴|MN|=12?k2+1?=4,为定值……...12分

3+4k221、解:(1)因为f?(x)?1x?2a,x?0,函数y?f(x)存在与直线2x?y?0平行的切线,所以f?(x)?2在(0,??)上有解,即1x?2a?2,在(0,??)上有解,也即1x?2?2a在(0,??)上有解,所以2?2a?0,得a??1,故所求实数a的取值范围是(?1,??)…………….(4分)

(2)因为g(x)?f(x)?12x2?12x2?lnx?2ax,因为g?(x)?x?1x2?2ax?1x?2a?x,

①当?1?a?1时,g(x)单调递增无极值点,所以不合题意…………..(6分)

②当a?1或a??1时,令g?(x)?0,设x2?2ax?1?0的两根为x1和x2,因为x1为函数g(x)的极大值点,所以0?x1?x2,又x1x2?1,x1?x2?2a?0,且a?1,0?x1?1…………..8分

2所以g?(x11)?x1?x?2a?0,则a?x1?1,要证明lnx1?12?a,只需证明12x1x1x1x3?x3x11lnx1?1?12成立,即证明xx?x11lnx1?1?12?0,(0?x1?1),…………10分 x3?x132令h(x)?xlnx?1?211?3x2,(0?x?1),则h?(x)?2?lnx?2x,h??(x)?x?3x?x,当0?x?333时,h??(x)?0,当3?x?1时,所以,h??(x)?0,所以h?(x)3max?ln3?0,所

以h(x)在(0,1)上单调递减,所以h(x)?h(1)?0,原题得证………………..(12分)

??2?x?2?2t22、解:(1)、由?(t为参数)可得x?y?4, ?2??y?2?2t所以曲线Cx?cos?1的极坐标方程为?cos???sin??4;由??y?1?sin?(?为参数),

?得x2?(y?1)2?1,所以曲线C2的极坐标方程为??2sin?………………..5分 (2)、设

A(?1,?),B(?42,?),0???3?4,则?1?cos??sin?,?2,?2sin?,

m?OBOA??2112?1??2sin??(cos??sin?)?(1?sin2??cos2?)?sin(2??)??144444?0???即??3???5???当,???2???2???, ,4444422?13?时,m取得最大值为

4………………………………………………10分8

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2017—2018学年度石家庄实验中学期末考试 高二理科数学试卷 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1、已知集合A??xx2?10x?16?0?,B??xy?log2(x?2)?,则A?B?( ) A.(8,??) B.?8,??? C.?2,8? D.(2,??) 2、在复平面中,复数1(1?i)2?1?i对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3、已知p,q是两个命题,那么“p?q是真命题”是“非p是假命题”的( ) A

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