以立体几何中探索性问题为背景的解答题

P D

C

A B

【答案】（1）详见解析，（2）AB?6时，四棱锥的体积P-ABCD最大. 平面BPC与平面DPC夹角的余弦3值为10. 5【解析】

试题分析：（1）先将面面垂直转化为线面垂直：ABCD为矩形，故AB?AD，又平面PAD?平面ABCD，平面PAD

平面ABCD=AD，所以AB?平面PAD，再根据线面垂直证线线垂直：因为PD?平面PAD，所以AB?PD

（2）求四棱锥体积，关键要作出高.这可利用面面垂直性质定理：过P作AD的垂线，垂足为O，又平面PAD?平面ABCD，平面PAD

平面ABCD=AD，所以PO?平面ABCD，下面用n?3表示高及底面积：设AB?m,，

则DP?PG2?OG2?4?m2,，故四棱锥P-ABCD的体积为 314m66V??6?m??m2?8?6m2.故当m?时，即AB?时，四棱锥的体积P-ABCD最大.

33333求二面角的余弦值，可利用空间向量求解，根据题意可建立空间坐标系，分别求出平面BPC的法向量及 平面DPC的法向量，再利用向量数量积求夹角余弦值即可.

试题解析：（1）证明：ABCD为矩形，故AB?AD，又平面PAD?平面ABCD 平面PAD

平面ABCD=AD所以AB?平面PAD，因为PD?平面PAD，故AB?PD

（2）解：过P作AD的垂线，垂足为O，过O作BC的垂线，垂足为G，连接PG. 故PO?平面ABCD，BC?平面POG,BC?PG 在直角三角形BPC中，PG?23266,GC?,BG?, 333设AB?m,，则DP?PG2?OG2?4?m2,，故四棱锥P-ABCD的体积为 3精品资料下载，数学教师研讨，欢迎加入数学教师研讨群238455466 - 29 -

14mV??6?m??m2?8?6m2.

333因为m8?6m?228?6(m2?)2? 33故当m?66时，即AB?时，四棱锥的体积P-ABCD最大.

33

建立如图所示的空间直角坐标系，O(0,0,0),B(66626266,?,0),C(,,0),D(0,,0),P(0,0,) 333333故PC?(62666,,?),BC?(0,6,0),CD?(?,0,0) 3333?6266x?y??0?设平面BPC的法向量n1?(x,y,1),，则由n1?PC,n1?BC得?3 33?6y?0?解得x?1,y?0,n1?(1,0,1),

同理可求出平面DPC的法向量n2?(0,,1),，从而平面BPC与平面DPC夹角?的余弦值为

12cos??n1?n2?|n1|?|n2|12?1?14?10. 5?ABC??BAD?90?，14.如图，在四棱锥P?ABCD中，PA?平面ABCD， AD?AP?4，AB?BC?2，

M为PC的中点．

（1）求异面直线AP，BM所成角的余弦值；

（2）点N在线段AD上，且AN??，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为

4，求?的值． 5精品资料下载，数学教师研讨，欢迎加入数学教师研讨群238455466 - 30 -

【解析】试题解析：（1）

因为PA?平面ABCD，且AB,AD?平面ABCD， 所以PA?AB，PA?AD，

又因为?BAD?90?，所以PA,AB,AD两两互相垂直． 分别以AB,AD,AP为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 则由AD?2AB?2BC?4，PA?4可得

A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,4,0)，P(0,0,4)，

又因为M为PC的中点，所以M(1,1,2)． 所以BM?(?1,1,2)，AP?(0,0,4)，…………2分

cos?AP,BM??AP?BM所以

|AP||BM|

?0?(?1)?0?1?4?2

4?6?63，

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6所以异面直线AP，BM所成角的余弦值为3．…………………………5分

（2）因为AN??，所以N(0,?,0)(0≤?≤4)，则MN?(?1,??1,?2)，

BC?(0,2,0)，PB?(2,0,?4)，

设平面PBC的法向量为m?(x,y,z)，

???m?BC?0,?2y?则??m?PD?0,?0, 即?2x?4z?0. 令x?2，解得y?0，z?1， 所以m?(2,0,1)是平面PBC的一个法向量．……………………………7分

4因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为5，

|cos?MN,m?|?|MN?m|?2?24所以|MN||m|?5?(??1)2?5?5，

解得

??1??0,4?，

所以?的值为1．……………………………………………………………10分

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