以立体几何中探索性问题为背景的解答题

以立体几何中探索性问题为背景的解答题

【名师综述】利用空间向量解决探索性问题

立体几何中的探索性问题立意新颖，形式多样，近年来在高考中频频出现，而空间向量在解决立体几何的探索性问题中扮演着举足轻重的角色，它是研究立体几何中的探索性问题的一个有力工具，应用空间向量这一工具，为分析和解决立体几何中的探索性问题提供了新的视角、新的方法．下面借“题”发挥，透视有关立体几何中的探索性问题的常见类型及其求解策略，希望读者面对立体几何中的探索性问题时能做到有的放矢，化解自如．

1. 以“平行”为背景的存在判断型问题

典例1 如图，四棱锥P?ABCD的底面ABCD是菱形， ?BCD?60， PA?平面ABCD， E是AB的中点.

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（1）求证：平面PDE?平面PAB；

（2）棱PC上是否存在一点F，使得BF//平面PDE？若存在，确定F的位置并加以证明；若不存在，请说明理由.

【解析】（1）连接BD，因为底面ABCD是菱形， ?BCD?60?,所以?ABD为正三角形. 因为E是AB的中点, 所以DE?AB,

因为PA?面ABCD, DE?面ABCD，∴DE?PA， 因为DE?AB， DE?PA， AB?PA?A, 所以DE?面PAB.

又DE?面PDE, 所以面PDE⊥面PAB.

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所以 BF∥GE，

又GE?面PDE， BF?面PDE， ∴BF∥面PDE，结论得证.

【名师指点】本题是直线和平面平行的存在性问题，这种问题可以利用空间直角坐标系，通过建系设点，利用空间向量求解，如果利用传统立体几何的方法，就需利用分析法，利用直线和平面平行的性质定理寻求点的位置．

【举一反三】【河南省南阳市第一中学2018届高三上学期第八次考试】如图，在四棱椎E?ABCD中，

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AE?DE， CD?平面ADE， AB?平面ADE， CD?DA?6， AB?2， DE?3.

(1)求证：平面ACE?平面CDE；(2)在线段DE上是否存在一点F，使AF//平面BCE？若存在，求出

EF的值；若不存在，说明理由. ED【解析】(1)证明：因为CD?平面ADE， AE?平面ADE，所以CD?AE，又因为AE?DE，

CD?DE?D，

所以AE?平面CDE，又因为AE?平面ACE，所以平面ACE?平面CDE.

类型2 以“垂直”为背景的存在判断型问题

典例2 如图，四面体PABC中， PA?平面ABC， PA?1， AB?1， AC?2， BC?3.

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（1）求四面体PABC的四个面的面积中，最大的面积是多少？ （2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC?BM，并求【解析】（1）由题设AB＝1，AC＝2，BC＝3， 可得AB2?BC2?AC2,所以AB?BC,

由PA⊥平面ABC，BC、AB?平面ABC,所以PA?BC， PA?AB, 所以PB?PM的值. MC2, 又由于PA∩AB＝A，故BC⊥平面PAB, PB?平面PAB,所以BC?PB,

所以?ACB， ?PAC, ?PAB, ?PCB均为直角三角形，且?PCB的面积最大，

16． S?PCB??2?3?22

（2）证明：在平面ABC内，过点B作BN⊥AC，垂足为N．在平面PAC内，过点N作MN∥PA交PC于点M，连接BM．

由PA⊥平面ABC知PA⊥AC，所以MN⊥AC． 由于BN∩MN＝N，故AC⊥平面MBN． 又BM?平面MBN，所以AC⊥BM． 因为?ABN与?ACB相似， AN?从而NC＝AC－AN＝．

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