高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义二学案无答案新人教A版

2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(二)

学习目标 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明．

知识点一 平面向量数量积的运算律

类比实数的运算律，判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确.

运算律 交换律 结合律 分配律 消去律

知识点二 平面向量数量积的运算性质

类比多项式乘法的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质．

多项式乘法 (a＋b)＝a＋2ab＋b (a－b)＝a－2ab＋b (a＋b)(a－b)＝a－b (a＋b＋c)＝a＋b＋c＋2ab＋2bc＋2ca

1．向量的数量积运算满足(a·b)·c＝a·(b·c)．( × ) 2．已知a≠0，且a·c＝a·b，则b＝c.( × ) 3．λ(a·b)＝λa·b.( √ )

222222222222实数乘法 向量数量积 判断正误 正确 错误 正确 错误 ab＝ba (ab)c＝a(bc) (a＋b)c＝ac＋bc a·b＝b·a (a·b)c＝a(b·c) (a＋b)·c＝a·c＋b·c ab＝bc(b≠0)?a＝c a·b＝b·c(b≠0)?a＝c 向量数量积 (a＋b)＝a＋2a·b＋b (a－b)＝a－2a·b＋b (a＋b)·(a－b)＝a－b (a＋b＋c)＝a＋b＋c＋2a·b＋2b·c＋2c·a 222222222222

类型一 向量数量积的运算性质

例1 设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论： ①a·c－b·c＝(a－b)·c；

②(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直； ③|a|－|b|<|a－b|；

④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|－4|b|. 其中正确结论的序号是________． 考点 平面向量数量积的运算性质和法则 题点 向量的运算性质与法则 答案 ①③④

解析 根据向量积的分配律知①正确； 因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c ＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0， ∴(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，②错误；

因为a，b不共线，所以|a|，|b|，|a－b|组成三角形三边， ∴|a|－|b|<|a－b|成立，③正确； ④正确．故正确结论的序号是①③④.

反思与感悟 向量的数量积a·b与实数a，b的乘积a·b有联系，同时有许多不同之处．例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0.特别是向量的数量积不满足结合律． 跟踪训练1 对于任意向量a，b，c，下列说法中正确的是( ) A．|a·b|＝|a||b| C．(a·b)c＝a(b·c)

B．|a＋b|＝|a|＋|b| D．|a|＝a

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2

考点 平面向量数量积的运算性质和法则 题点 向量的运算性质与法则 答案 D

解析 因为a·b＝|a||b|cos〈a，b〉， 所以|a·b|≤|a||b|，所以A错误； 根据向量加法的平行四边形法则，

|a＋b|≤|a|＋|b|，只有当a，b同向时取“＝”，

所以B错误；因为(a·b)c是向量，其方向与向量c相同，a(b·c)是向量，其方向与向量a的方向相同，所以C错误； 因为a·a＝|a||a|cos0＝|a|， 所以|a|＝a，所以D正确．

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类型二 平面向量数量积有关的参数问题 命题角度1 利用向量数量积处理垂直问题

例2 已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b，求当m为何值时，c与d垂直． 考点 平面向量数量积的应用 题点 已知向量夹角求参数

解 由已知得a·b＝3×2×cos60°＝3. 若c⊥d，则c·d＝0，

∴c·d＝(3a＋5b)·(ma－3b)＝3ma＋(5m－9)a·b－15b＝27m＋3(5m－9)－60＝42m－87＝0，

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∴m＝，即当m＝时，c与d垂直．

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反思与感悟 由两向量垂直求参数一般是利用性质：a⊥b?a·b＝0.

跟踪训练2 已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)·b，且b⊥c，则t＝________.

考点 平面向量数量积的应用 题点 已知向量夹角求参数 答案 2

1解析 由题意，将b·c＝[ta＋(1－t)b]·b＝0整理，得ta·b＋(1－t)＝0，又a·b＝，

2所以t＝2.

命题角度2 由两向量夹角的取值范围求参数的取值范围

例3 已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，则

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k的取值范围为________．

考点 平面向量数量积的应用 题点 已知向量夹角求参数 答案 (0,1)∪(1，＋∞)

解析 ∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角， ∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2) ＝ke1＋ke2＋(k＋1)e1·e2 ＝2k>0，∴k>0.

但当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去． 综上，k的取值范围为k>0且k≠1.

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2

反思与感悟 向量a，b的夹角为锐角，得到a·b>0；反之，a·b>0不能说明a，b的夹角为锐角，因为a，b夹角为0°时也有a·b>0.同理，向量a，b的夹角为钝角，得到a·b<0；反之，a·b<0不能说明a，b的夹角为钝角，因为a，b夹角为180°时也有a·b<0. 跟踪训练3 若向量e1，e2满足|e1|＝|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，向量2te1＋e2与向量

e1－e2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．

考点 平面向量数量积的应用 题点 已知向量夹角求参数

解 设向量2te1＋e2与向量e1－e2的夹角为θ，由θ为钝角，知cosθ<0，故(2te1＋e2)·(e11122

－e2)＝2te1＋(－2t＋1)e1·e2－e2＝t－<0，解得t<.

22又当θ＝π时，也有(2te1＋e2)·(e1－e2)<0，

但此时夹角不是钝角，设向量2te1＋e2与向量e1－e2反向，则2te1＋e2＝k(e1－e2)(k<0)，

??2t＝k，

又e1与e2不共线，从而?

?1＝－k，?

11

解得t＝－，即当t＝－时，向量2te1＋e2与向量e1

22

－e2的夹角为180°，

??1?1

故t的取值范围是?t?t<，且t≠－

2??2?

??

?. ??

1．下面给出的关系式中正确的个数是( )

①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a＝|a|；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)＝a·b. A．1B．2C．3D．4

考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 向量的运算性质与法则 答案 C

解析 ①②③正确，④错误，⑤错误，(a·b)＝(|a||b|·cosθ)＝a·bcosθ，故选C. 2．已知|a|＝2，|b|＝1，a与b之间的夹角为60°，那么向量a－4b的模为( ) A．2B．23C．6D．12

考点 平面向量数量积的运算性质和法则 题点 向量的运算性质与法则 答案 B

解析 ∵|a－4b|＝a－8a·b＋16b

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