解析几何的解题策略选择

详细答案附后 解析几何的解题策略选择

吴江高级中学 陈群峰

一、复习要点

解析几何中，一类与两直线斜率有关的圆锥曲线综合问题求解的基本策略. 二、基础训练

x2?y2?1交于A,B两点，点P是椭圆T上一点，且直线PA,PB斜率均存在，则1. 过原点O作直线与椭圆T:2kPA?kPB? .

x2?y2?1交于A,C与B,D，则四边形ABCD面积的最小值2. 过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆T:2为 .

三、典型例题

例1 （2013苏北四市期末18题）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E:6(2,).

2（1） 求椭圆E的方程；

x2a2?y2b2?1(a?b?0)的焦距为2，且过点

y P M （2） 若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点A 轴，点P是椭圆 上异于A，B的任意一点，直线AP交l于（ⅰ）设直线OM的斜率为k1,直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为m （ⅱ）设过点M垂直于PB的直线为m.求证：直线m过定点，并求出定点的

例2 已知中心在原点的椭圆C过点P(2,1)和点Q(2,（1）求椭圆C的标准方程

O B x l定值； 坐标. B且垂直于x

点M.

6), 2（2）A,B是椭圆C上的两个动点,若直线PA,PB的斜率存在,且和为1,求证:直线AB过定点.

例3 （2013常州期末18题）如图，在平面直角坐标系

中，已知F1,F2分别是

x2y2椭圆E:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点，A，B分别

ab是椭圆E的左、右顶

???????????点，且AF2?5BF2?0.

（1）求椭圆E的离心率；

（2）已知点D?1,0?为线段OF2的中点，M 为椭圆E上

的动点（异于点A、

B），连接MF1并延长交椭圆E于点N，连接MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q，连接PQ，设直线MN、PQ的斜率存在且分别为k1、k2，试问是否存在常数?，使得k1??k2?0恒成立？若存在，求出?的值；若不存在，说明理由.

四、巩固习题

x2y231.已知椭圆2?2?1(a?b?0)的离心率e?，A,B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A,B的一点，直线

ab2PA,PB斜倾角分别为?、?，则

cos(???)= ．

cos(???)2. （2013南通期末）已知左焦点为F(－1，0)的椭圆过点E(1，23)．过点P(1，1)分别作斜率为k1，k2的椭圆的动弦AB，

3CD，设M，N分别为线段AB，CD的中点．

（1）求椭圆的标准方程； （2）若P为线段AB的中点，求k1； （3）若k1+k2=1，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标．

x2y23.（2013南京市、盐城市高三期末）如图, 在平面直角坐标系xOy中, 已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)经过点

abM(32,2),椭圆的离心率e?22, F1、F2分别是椭圆的左、右焦点. 3(1)求椭圆C的方程；

(2)过点M作两直线与椭圆C分别交于相异两点A、B. 若?AMB的平分线与y轴平行, 试探究直线AB的斜率是否为定值？若是, 请给予证明；若不是, 请说明理由.

x2y224.（2012镇江高考模拟）已知椭圆G：2?2?1(a>b>0)的离心率为，右焦点F(1,0)．过点F作斜率为k（k?0）的直

ab2线l，交椭圆G于A、B两点，M（2,0）是一个定点．如图所示，连AM、BM，分别交椭圆G于C、D两点（不同于A、B），记直线CD的斜率为k1．

[(Ⅰ)求椭圆G的方程；

(Ⅱ)在直线l的斜率k变化的过程中，是否存在一

个常数?，使得k1??k恒成立？若存在，求出 这个常数?；若不存在，请说明理由．

五、参考答案

例1 解：⑴由题意得2c?2 ，所以c?1，又

23+?1， a22b21消去a可得，2b4?5b2?3?0，解得b2?3或b2??（舍去），则a2?4，

2x2y2??1． 所以椭圆E的方程为43⑵（ⅰ）设P(x1,y1)(y1?0)，M(2,y0)，则k1?y1y0，k2?，

x1?22y0y14y124y1因为A,P,B三点共线，所以y0?， 所以，k1k2?，因为P(x1,y1)在椭圆上，所以?x1?22(x1?2)2(x12?4)4y12332为定值． ??y?(4?x1)，故k1k2?22(x?4)24121（ⅱ）法一:直线BP的斜率为k2?y12?x1，直线m的斜率为km?, x1?2y1则直线m的方程为y?y0?2?x1(x?2)， y12?x12(x12?4)?4y122?x12?x12(2?x1)4y1(x?2)?y0?x???x? y? y1y1y1x1?2y1(x1?2)y12?x12(x12?4)?12?3x122?x12?x12?x1x?(x?1)， ?x?==y1y1y1y1(x1?2)y1所以直线m过定点(?1,0)．

法二：直线OM方程为y?k1x,则M(2,2k1).

?m?BP,?km??即y?

212?k1,则直线m方程为：y?2k1?k1(x?2)，

3k232k1(x?1)，?直线m过定点(?1,0). 3?4m?n?16?22)，则?例2 解：（1）设椭圆C方程：mx?ny?1(m?0,n?0,m?n)，椭圆C过点P(2,1)和点Q(2,，322m?n?1??211x2y2??1. 解得m?,n?，所以椭圆C的标准方程为

8282（2）设直线PA,PB的斜率分别为k和m(k?m?1且k?m) ,则直线PA的方程为

y?1?k(x?2),设A(x1,y1),B(x2,y2)