初二数学第八讲一元二次方程的实际应用（教案）

个性化教案 第08讲 一元二次方程的实际应用 适用学科 适用区域 知识点 初中数学 全国 适用年级 初中三年级 课时时长（分钟） 120分钟 1.一元二次方程解应用题的步骤 2.增长率问题公式 3.面积问题 4.利润问题 5.“每每”问题 6.储蓄问题 教学目标 1.掌握列方程解应用题的步骤和关键 2.经历分析具体问题中的数量关系,建立方程模型解决问题的过程,认识方程模型的重要性,并总结运用方程 解实际问题的重要性 3.通过探究性学习,抓住问题的关键，揭示它的规律性，展示解题的简洁性的数学美. 教学重点 1.列一元二次方程解决实际问题 2.审题，从文字语言中挖掘有价值的信息. 教学难点 找出实际问题中的等量关系 教学过程

一、复习预习

我们已经学习了一元二次方程的定义和四种解法，下面我们一块来复习一下： 1. 用直接开平方法解方程(x?3)?8，得方程的根为（ ）

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A. x?3?23 B. x1?3?22,x2?3?22 C. x?3?22 D. x1?3?23,x2?3?23 2. 方程x2(x?1)?0的根是（ ）

A．0 B．1 C．0，－1 D．0，1

3. 设(x?1)(x?2)?0的两根为x1、x2，且x1＞x2，则x1?2x2＝ 。

224. 已知关于x的方程4x?4kx?k?0的一个根是－2，那么k＝ 。

25.x?4x? ＝(x?________)2 3 列方程解应用题时应认真审题, 不能漏掉任何一个条件，所以我们今天就来具体学习一下列方程解应用题。

二、知识讲解

1．列一元二次方程解应用题的一般步骤是： “审、设、列、解、答”．

(1)“审”指读懂题目、审清题意，明确已知和未知，以及它们之间的数量关系．这一步是解决问题的基础；

(2)“设”是指设元，设元分直接设元和间接设元，所谓直接设元就是问什么设什么，间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的，但由于对列方程有利，因此间接设元也十分重要．恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易；

(3)“列”是列方程，这是非常重要的步骤，列方程就是找出题目中的等量关系，再根据这个 相等关系列出含有未知数的等式，即方程．找出相等关系列方程是解决问题的关键；

(4)“解”就是求出所列方程的解，注意一元二次方程的解需要检验。

(5)“答”就是书写答案，应注意的是一元二次方程的解，有可能不符合题意，如线段的长度 不能为负数，降低率不能大于100%等等。，解出方程的根后，一定要一定要看是否符合实际情况。

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2.数与数字的关系:

两位数=(十位数字)×10＋个位数字

三位数=(百位数字)×100＋(十位数字)×10＋个位数字

3.翻一番

翻一番即表示为原量的2倍，翻两番即表示为原量的4倍．

4.增长率问题

(1)增长率问题的有关公式：增长数=基数×增长率

增长率?实际-计划?100%

计划 (2)连续两次增长，且增长率相等的问题：若原来为m，现在为n，增长率为x，满足公式m(1?x)2?n(m?n)

如果是连续两次下降则为：m(1?x)2?n(m?n)

5.经济问题常用的公式： （1）利润=售价-进价； （2）售价=标价×折扣； （3）利润率?售价-进价?100%

进价 6.列方程解应用题的关键

(1)审题是设未知数、列方程的基础，所谓审题，就是要善于理解题意，弄清题中的已知量和未知数，分清它们之间的数量关系，寻求隐含的相等关系；

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(2)设未知数分直接设未知数和间接设未知数，这就需根据题目中的数量关系正确选择设未知数的方法和正确地设出未知数．

考点/易错点1

要充分利用题设中的已知条件，善于分析题中隐含的条件，挖掘其隐含关系. 考点/易错点2

由于一元二次方程通常有两个根，为此要根据题意对两根加以检验．即判断或确定方程的根与实际背景和题意是否相符，并将不符合题意和实际意义的舍去

三、例题精析

【例题1】

【题干】恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.

【答案】解:设这两个月的平均增长率是x，则根据题意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，

即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）. 答:这两个月的平均增长率是10%.

【解析】这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2＝n求解，其中m＜n.对于降低率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1－x)2＝n即可求解，其中m＞n. 【变式练习】

【题干】某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2000kg，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，已知南瓜种植面积的增长率是亩产量的增长率的2倍，今年南瓜的总产量为60 000kg，求南瓜亩产量的增长率． 【答案】解：设南瓜亩产量的增长率为x，则种植面积的增长率为2x．根据题意，得

2 000(1?x)?60 000 10(1?2x)? 解这个方程，得x1?0.5，x2??2（不合题意，舍去）．

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