[省会检测]2018年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）

设g（x）=g′（x）=

，

，x＞0，

当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）递减；当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）递增， 可得x=1处g（x）取得最大值1，如图所示：

当﹣a≤0或﹣a=1，即a≥0或a=﹣1时，直线y=﹣a与y=g（x）有一个交点， 当0＜﹣a＜1即﹣1＜a＜0时，直线y=﹣a与y=g（x）有两个交点， 当﹣a＞1即a＜﹣1时，直线y=﹣a与y=g（x）没有交点， 综上可得，a＜﹣1，函数f（x）零点的个数为0； ﹣1＜a＜0，函数f（x）零点的个数为2； a≥0或a=﹣1时，函数f（x）零点的个数为1； （2）任意的x＞0，f（x）≤xe2x恒成立， 即为a≤e2x﹣设h（x）=e2x﹣

恒成立， ﹣2=

，

设m（x）=xe2x﹣lnx﹣1﹣2x，x＞0，

m′（x）=e2x+2xe2x﹣﹣2=（1+2x）（e2x﹣），

设e2x﹣=0的根为a，即有x＞a，m（x）递增；0＜x＜a时，m（x）递减， 可得x=a处m（x）取得最小值m（a），

由m（a）=ae2a﹣lna﹣1﹣2a=1﹣lne﹣2a﹣1﹣2a=0， 可得h（x）≥0恒成立，即有e2x﹣则a≤2，即a的范围是（﹣∞，2]．

≥2，

【点评】本题考查函数导数的运用，求函数的单调性和最值，考查不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和构造函数法，考查考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是难题．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10.00分）已知过点P（m，0）的直线l的参数方程是（t为参

数）．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程式为ρ=2cosθ．

（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线l与曲线C交于两点A，B，且|PA|?|PB|=2，求实数m的值． 【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．

（Ⅱ）利用方程组求出一元二次方程，利用根和系数的关系式求出结果．

【解答】解：（Ⅰ）过点P（m，0）的直线l的参数方程是（t为参数）．

转化为直角坐标方程为：

曲线C的极坐标方程式为ρ=2cosθ． 转化为直角坐标方程为：x2+y2=2x． （Ⅱ）直线l与曲线C交于两点A，B，

，

则：把

（t为参数），代入曲线方程x2+y2=2x，

整理得：

由于|PA|?|PB|=2， 故：

解得：m=2或﹣1

．

．

【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）=2|x+a|+|3x﹣b|．

（1）当a=1，b=0时，求不等式f（x）≥3|x|+1的解集；

（2）若a＞0，b＞0，且函数f（x）的最小值为2，求3a+b的值．

【分析】（1）当a=1，b=0时，不等式f（x）≥3|x|+1即2|x+1|+|3x|≥3|x|+1．可得|x+1|

，即可得出．

（2）a＞0，b＞0，对a，b分类讨论：x≥时，f（x）=5x+2a﹣b．﹣a≤x＜时，f（x）=﹣x+2a+b．x＜﹣a时，f（x）=﹣5x﹣2a+b．利用一次函数的单调性及其函数f（x）的最小值为2，可得：当x=时，

=2，即可得出．

【解答】解：（1）当a=1，b=0时，不等式f（x）≥3|x|+1即2|x+1|+|3x|≥3|x|+1． ∴|x+1|∴x+1解得x

， ，x+1，或x

， ．

，或x

}．

∴不等式f（x）≥3|x|+1的解集为{x|x（2）a＞0，b＞0，

x≥时，f（x）=2（x+a）+（3x﹣b）=5x+2a﹣b． ﹣a≤x＜时，f（x）=2（x+a）﹣（3x﹣b）=﹣x+2a+b． x＜﹣a时，f（x）=﹣2（x+a）﹣（3x﹣b）=﹣5x﹣2a+b． ∵函数f（x）的最小值为2， ∴当x=时，可得：6a+2b=6， ∴3a+b=3．

【点评】本题考查了绝对值不等式的解法、分类讨论方法、一次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

=+2a﹣b=2，