上海交通大学2007年数学分析

上海交通大学2007年数学分析

一、（每小题6分，共24分）判断下列命题的真伪，正确的命题请简要证明，错误的命题

举出反例. 1、若?xn?为有界数列，记??sup?xn?，则?xn?必有子列?xnk?，使得limxk??nk??.

2、若函数f(x)和g(x)在?a,???上一致连续，则f(x)g(x)在?a,???上一致连续. 3、若函数列?fn(x)?在区间?a,c?和?c,b?上一致收敛，那么?fn(x)?在?a,b?上一致收敛.

??4、若级数?an绝对收敛，而limbn?1，则?anbn绝对收敛.

n?1n??n?1二、（每小题8分，共64分）计算下列各题.

sin?n?1n1sin2?1、计算极限lim(n??n?n???sin?). 2n?1n?n2、计算极限lim(x?12?ex?12?ln(1?sin(x?1))x?1).

1?ex?11?x1?x??0223、设f(x)?arctan，求高阶导数f(n)(x)，其中n?N.

4、设广义积分I??sin(x)xp2dx（p??1）.试问p为何值时广义积分绝对收敛，p为何

值时广义积分条件收敛？

an?5、设f(x)在闭区间?0,1?上连续且恒正，?x?y,?226、设二元函数f(x,y)??x?y??0,?20?xf(x)dx.求函数项级数?n?0nxnan的收敛域.

x?y?0x?y?02222，??0.

问?为何值时函数f(x,y)在点(0,0)处可微？. 7、计算三重积分I?其中?是由曲面x?2???(y?z)?3arctanzdxdydz，

212(y?z)?R，z?0，z?h所围成的立体.

xdx?aydyx?y2228、求常数a，使曲线积分I???C的值恒等于零，其中C是平面上任一不经过原

点(0,0)的简单闭曲线.

三、证明以下各题（以下第一，二，三题各12分，第四，五各13分，共62分） 1、设x1??0,1?，xn?1?xn(1?xn)，n?1,2,3,?.证明数列?xn?收敛并求极限limnxn.

n??2?2、设f(x)??1?nn?1e?nx2，证明：f(x)在?0,???上连续且f?(x)在?0,???内连续.

f(x)esinx3、设f(x)在x?0某一领域内具有二阶连续导数，且lim?x?0?1?0，试证明级数

?n?11nf()绝对收敛.

n4、若函数f(x)在?0,???上连续并且在?0,???内可导.若f(x)?0（但不恒为零），f(0)?0，limf(x)?0，则

x??（1）存在???0,???使得f?(?)?0.

（2）存在直线y?b?0与曲线y?f(x)至少交于两点.

5、证明：f(x)在?a,b?上一致连续的充分必要条件是若?xn?是?a,b?上的Cauchy（柯西）数列，则?f(xn)?也是Cauchy（柯西）数列.