2019-2020学年人教A版高中数学选修1-2同步导练练习：选修1—2综合测试 Word版含解析

图5

17．(10分)已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2 cosθ＋(λ＋3 sin θ)i(λ，θ∈R)，并且z1＝z2，求λ的取值范围．

?m＝2 cosθ

解：依题意，有?

?4－m2＝λ＋3 sinθ

∴λ＝4－(2 cosθ)2－3 sinθ＝4(1－cos2θ)－3 sinθ 329

＝4 sinθ－3 sinθ＝4(sinθ－8)－16

2

32121

∵－1≤sin θ≤1∴0≤(sinθ－8)≤64 9

∴－16≤λ≤7为所求的取值范围．

18．(12分)正三角形内任意一点到三边距离之和为定值，在四面体中类比你会得到类似结论，并证明你的结论．

解：结论：正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值． 证明如下：在正四面体ABCD中，O是正四面体内任一点，连结

OA、OB、OC、OD，设O到面ABC、面ACD、面ABD、面BCD的距离分别为h1、h2、h3、h4，A到面BCD的距离为h，正四面体的一个面的面积为S，则

11

VA—BCD＝3S△BCD·h＝3Sh

VO—ABC＋VO—ACD＋VO—ABD＋VO—BCD 1111＝3S·h1＋3Sh2＋3Sh3＋3Sh4 1

＝3S(h1＋h2＋h3＋h4)

∵VA—BCD＝VO—ABC＋VO—ACD＋VO—ABD＋VO—BCD 11

∴3Sh＝3S(h1＋h2＋h3＋h4) ∴h1＋h2＋h3＋h4＝h(定值)

故正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值．

19．(12分)为考察高中生的数学成绩与语文成绩之间的关系，对

高二(1)班的55名学生进行了一次摸底考试，按照考试成绩优秀和不优秀统计成绩后，得到如下2×2列联表：

数学成绩 语文成绩 总计 优秀 21 13 34 不优秀 34 42 76 总计 55 55 110 问：数学成绩与语文成绩在多大程度上有关系？ 解：假设“数学成绩与语文成绩没有关系”．而随机变量的观测值

k＝

?21＋34??13＋42??21＋13??34＋42?

110?21×42－34×13?2

21 296 000

＝7 816 600≈2.724>2.706. 且P(K2≥2.706)≈0.10.

这就意味着“数学成绩与语文成绩没有关系”这一结论是错误的可能性约为0.10，即有90%的把握认为“数学成绩与语文成绩有关系”．

2x

20．(14分)已知函数f(x)＝的图象关于直线x＋y＝0对称，

x＋a定义数列{an}，使a1＝2a，a2＝f(a1)，…，an＋1＝f(an)．

(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：?aiai?1<8.

i?1n2x

解：(1)函数f(x)＝的图象关于直线x＋y＝0对称的解析式为

x＋a

－x＝

－y＋a

ax

即y＝，∴a＝2.

x＋2

2an111

∴an＋1＝，∴＝a＋2 an＋2an＋1n1

∴{a}为等差数列

n

1114∴a＝4＋2·(n－1)，∴an＝. n2n－1(2)由(1)可知

?11?

??－aiai＋1＝8?? 2i－12i＋1??

?1?

?1－?∴(2)求证：?aiai?1=8??<8. 2n＋1i?1??

n2?－y?