高三数学第一轮复习教案(新人教A)三角函数的概念、同角三角函数的关系、诱导公式

第四章 三角函数

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考点目标定位

1.角的概念的推广.弧度制.

2.任意角的三角函数.单位圆中的三角函数线.

3.同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式.

4.两角和与差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切. 5.正弦函数、余弦函数的图象和性质.周期函数.

6.函数y=Asin(ωx+φ)的图象.正切函数的图象和性质.已知三角函数值求角. 复习方略指南

本部分内容历来为高考命题的热点，其分值约占15%，一般都是二或三个小题，一个大题.小题主要考查三角函数的基本概念、图象、性质及“和、差、倍角”公式的运用.大题则着重考查y=Asin(ωx+φ)的图象和性质及三角函数式的恒等变形.试题大都来源于课本中的例题、习题的变形,一般为容易题或中档题.因此复习时应“立足于课本，着眼于提高”. 本章内容公式多,三角函数作为工具,和其他知识间的联系密切,因此复习中应注意:

1.弄清每个公式成立的条件,公式间的内在联系及公式的变形、逆用等.切不可死记硬背,要在灵、活、巧上下功夫.

2.本章突出显现以数形结合思想与等价转化思想为主导的倾向.在本章复习中,应深刻理解数与形的内在联系,理解众多三角公式的应用及三角函数式的化简、求值、证明等无一不体现等价转化思想.

3.通过图象的变换理解并掌握利用变换研究图象的思想方法,并从中体会“变换美”. 4.有关三角函数方面的应用题，大都需要用“辅助角公式”asinx+bcosx=a2?b2sin(x+φ)(其中φ角所在象限由a、b的符号确定，φ角的值由tanφ=

b确定)将函数化成y=Asin(ωx+φ)+ha的形式，再求其最值或周期等.

4.1 三角函数的概念、同角三角函数的关系、诱导公式

巩固·夯实基础 一、自主梳理

1.长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度的角;正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0.如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l,那么角α的弧度数的绝对值是|α|=+2kπ,k∈Z}.

2.设α是一个任意角,α的终边上任意一点P(x,y)与原点的距离r==

l.所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=αrx2?y2,则sinα

xyy,cosα=,tanα=.

rrx 3.同角三角函数的基本关系式为: 倒数关系tanα·cotα=1,商数关系tanα=

sin?,平方关系sin2α+cos2α=1. cos? 4.诱导公式:α+2kπ(k∈Z),-α,π±α,2π-α的三角函数可概括为α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.

3??±α,±α的三角函数可概括为α的余函数

22值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.

二、点击双基

1.(湖南高考)tan600°的值是( ) A.-

33 B. C.-3 D.3 33解析：tan600°=tan(180°×3+60°)=tan60°=3. 答案：D

2.(西安五校联考)已知f(x)=3sin(

??x+),则下列不等式中正确的是( ) 23A.f(1)

C.f(2)

??x+), 2333??3??3+)=,f(2)=3sin(π+)=-,f(3)=-3cos=-,∴f(1)>f(3)>f(2),故选2232332 则f(1)=3sin(C.

答案:C

3.(北京海淀模拟)已知sin(π+α)=-

1,那么cosα的值为( ) 2A.±

3311B.C. D.±

222 2

解析:sin(π+α)=-

11,则sinα=. 223.故选D. 2 ∴cosα=±1?sin2?=±答案:D 4.若

1?sin?1?sin?=,则α的取值范围是________________________.

1?sin?cos?1?sin?1?sin?1?sin?==,

1?sin?|cos?|cos?解析: ∵

∴cosα>0.

??,2kπ+)(k∈Z). 22?? 答案:α∈(2kπ-,2kπ+)(k∈Z)

22 ∴α∈(2kπ-5.已知锐角α终边上一点A的坐标为(2sin3,-2cos3),则角α的弧度数为__________________.

解析：∵3是第二象限角, ∴sin3>0,-cos3>0. 如图所示,r=|OA|=2.

2sin3??=sin3=cos(-3)=cos(3-), 222?? 并且0<3-<是锐角.

22? ∴α=3-.

2?答案：3-

2 ∴cosα=

诱思·实例点拨

【例1】 解答下列问题:

(1)若θ在第四象限,试判断sin(cosθ)·cos(sinθ)的符号; (2)若tan(cosθ)·cot(sinθ)>0,试指出θ所在象限.

解:显然要用到三角函数在各象限内取值符号的结论,其中还应注意cosθ、sinθ本身的取值限制.

(1)∵θ在第四象限, ∴0

??,-<-10,cos(sinθ)>0. ∴sin(cosθ)·cos(sinθ)>0. (2)原式即??tan(cos?)?0,?tan(cos?)?0,或?

?cot(sin?)?0,?cot(sin?)?0, ∴??0?cos??1,??1?cos??0,或?

?0?sin??1??1?sin??0. ∴θ为第一象限或第三象限角.

讲评:运用正弦、余弦、正切函数在各象限的函数值符号法则,确定所给函数的函数值符号或通过函数值符号确定角变量的取值范围. 【例2】 已知cosα=

1?，且-＜α＜0， 32 求

cot(????)?sin(2???)的值.

cos(??)?tan?1中可推知sinα、cotα的值,再用诱导公式即可求之. 31?解:∵cosα=，且-＜α＜0,

32 剖析:从cosα= ∴sinα=-

222，cotα=-.

34 ∴原式=

2cot(??)?sin??cot??sin?==-cotα=.

4cos(??)?tan?sin?讲评:三角函数式的化简求值是三角函数中的基本问题，也是常考的问题之一.

链接·聚焦

运用诱导公式的重点在于函数名称与符号的正确判断和使用,在运用同角关系的平方关系时,关键在于讨论角的范围. 【例3】 (1)一个半径为r的扇形,若它的周长等于弧所在的半圆的长,那么扇形的圆心角是多少弧度?扇形的面积是多少?

(2)已知一扇形的周长为c(c>0),当扇形的中心角为多大时,它有最大的面积? 解:(1)设扇形的圆心角是θ弧度,则扇形的弧长是rθ,扇形的周长是2r+rθ. 由题意可知2r+rθ=πr. ∴θ=π-2(弧度). 扇形的面积为S=

121rθ=r2(π-2). 22c1,S=r2θ2??2 (2)设扇形的半径为r,中心角为θ弧度,扇形的面积为S,则c=2r+rθ,r=

c2?=. 2?2?8??8 对此方程,求最值有如下三种方法:

方法一:考虑到运用判别式法求分式函数的最值,则有 2Sθ2+(8S-c2)θ+8S=0,又θ有实数解,

2c ∴Δ=(8S-c2)2-4·2S·8S≥0,即S≤.

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