2017-2018届江西省重点中学四校高三第一次联考理科数学试卷及答案

2017-2018届高三第一次联考数学(理科)试卷

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给

出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知集合A=?x|x2?x?2?0?，集合B=?y|y?log4(x?2),x?A?，则A?B=（ ）

A．［-1，0］ B．［0，1］

C．［0，2］

D．［-1，1］

2．已知Z=(1+i)n，若Z为实数，则正整数n的最小值为（ ） A．2

B．3 C．4 D．5

3．设sin(?4??)?13，则sin2??（ ）

A．?19 B．19 C．79

D．?79

4．下列命题正确的个数有（ ）

（1）存在x0?0，使得x0?sinx0 （2）“lna?lnb”是“10a?10b”的充要条件 （3）若sin??12，则???6

（4）若函数f(x)?x3?3ax2?bx?a2在x??1有极值0，

则a?2,b?9

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5．已知某种程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（ ） A．?1 B．1 C．2

D．12

6．在集合M??1,2,3,4,5?的所有非空子集中，任取一个集合A，恰

好满足条件“若x?A，则6?x?A”的概率是（ ） A．331 B．531 C．731 D．931

7．已知下面正三棱柱的俯视图如右图所示，则这个三棱柱外接

球的体积为（ ） 4

3

俯视图

A．28?

B．287?

C．28?3

D．2873?

8．向边长为2米的正方形木框ABCD内随机投掷一粒绿豆，记

绿豆落在P点，则

∠DPC∈(0，?2)的概率为（ ）

A． 1－?B．1－3?8

8 C．3?8

D．?8 9．双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，且F2恰 为抛物线y2?4x的焦

点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若?AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（ ） A． 1?2 B．2 C．1?3 D．210．若非零向量? A．|2?a|?|2?a??a,?b满足????3

b| B．|2?|a?ba|?|2?|?|a??b|，则（b| C．|2? ）

b|?|?a?2?b| D．|2?b|?|?a?2b?| 11．已知函数f(x)?2|1?x|?|x?1|3(x?R)有4个零点x1,x2,x3,x4，且

x1?x2?x3?x4，则

f(x1?x4)?（ ）

A．0 B．1 C．2 D．32

12．已知数列?an?是等差数列，且a1??0,1?，a2??1,2?，a3??2,3?，则a4的取值范围为（ ） A．?3,4?

B．??5,9??

C．??813??22??3,3??

D．?2,5?

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．使(x?1xx)10的展开式中系数大于

200的项共有 项.

14．设椭圆x24?y2?1的左焦点为F1，右焦点为F2,以F1F2为直径的

圆与椭圆在

x轴上方部分交于点

M,N，则

|F1M|?|F1N||F= .

1F2|15．在?ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a2?b2?4a?2b?5，

且a2?b2?c2?bc，则sinB= _____________。

16. 气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的平均温

度均不低于22?C”，现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数） （1）甲地：5个数据的中位数为24，众数为22 （2）乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24 （3）丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总

体方差为10.8，则肯定进入夏季的地区是 .

三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分，解答

应写出文明说明、证明过程或演算步骤。） 17.已知m???(cos?x?sin?x,3cos?x)， n??(cos?x?sin?x,2sin?x)，其中??0，

若函数

f(x)??m???n，

且f(x)的对称中心到f(x)对称轴的最近距离不小于?4。

（1）求?的取值范围。

（2）在?ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a?3,b?c?3，

当?取最大值时，f(A)?1，求?ABC的面积。

18．某工厂生产A、B两种型号的玩具，其质量按测试指标划分

为：指标大于或等于83为正品，小于83为次品，现随机取这两种玩具进行检测，检测结果统计如下： 测试指［70，［76，［83，［88，［94，标 76) 83) 88) 94) 100) 玩具A（件） 8 12 40 32 8 玩具B（件） 7 18 40 29 6 （1）试分别估计玩具A为正品的概率和玩具B为正品的概率；

（2）生产1件玩具A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏

损5元；生产1件玩具B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元，在（1）的前提下，

（i）记?为生产1件玩具A和1件玩具B所得的总利润，求随机变量?的分布列和数学期望；

（ii）求生产5件玩具B所获得的利润不少于140元的概率.

19.如图，在Rt?ABC中，?ACB??2，BC?2,CA?3，点P在线段AB 上，

且CP平分?ACB，将?BPC沿CP折成二面角S?CP?A（点B与

S重合），且SA?7. （1）求证：平面SPC?平B面APC；

（2）求二面角P?SC?A的

P正弦值.

CA

20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆E的中心为原点，F1、F2分

别为E的左、右焦点，过F1的直线l交E于A、B两点，且

?ABF32的周长为43，离心率为3。 （1）求椭圆E的方程；

（2）过圆O：x2?y2?5上任意一点P作椭圆E的两条切线，若

切线斜率都存在，试探究这两条切线斜率之间的关系。

21．已知函数f(x)?lnx?ax(a?R)

（1）当a=1时，求f?x?在点?1,f?1??处的切线方程，判断切线

与f?x?图象的公共点个数，并说明理由；

（2）若f(x)?lnx?ax(a?R)有两个不同的零点x1,x2，求证：x1x22?e.

四、选做题（请考生从22、23、24三题中任选一题作答。如果

多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑，共10分）

22．如图，已知AD为圆O的直 径，直线BA与圆O相切于点A，

直线OB与弦AC垂直并相交于点G，与弧AC相交于M，连接DC，AB=10，AC=12

（1）求证：BA?DC=GC?AD ； （2）求BM.

23．在直角坐标系XOY中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极

轴，与直角坐标系XOY取相同的长度单位，建立极坐标系，

已知点P的极坐标为???4,??2??，直线l的极坐标方程为

?cos???????4??=a，且点P在直线l上。

（1）求a的值及直线l的直角坐标方程； （2）设曲线C的参数方程?x=cos?y=3sin?(?为参数)，求曲线C上

的点到直线l的最大值.