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2017-2018届高三第一次联考数学(理科)试卷
一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给
出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。) 1.已知集合A=?x|x2?x?2?0?,集合B=?y|y?log4(x?2),x?A?,则A?B=( )
A.[-1,0] B.[0,1]
C.[0,2]
D.[-1,1]
2.已知Z=(1+i)n,若Z为实数,则正整数n的最小值为( ) A.2
B.3 C.4 D.5
3.设sin(?4??)?13,则sin2??( )
A.?19 B.19 C.79
D.?79
4.下列命题正确的个数有( )
(1)存在x0?0,使得x0?sinx0 (2)“lna?lnb”是“10a?10b”的充要条件 (3)若sin??12,则???6
(4)若函数f(x)?x3?3ax2?bx?a2在x??1有极值0,
则a?2,b?9
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.已知某种程序框图如图所示,则执行该程序后输出的结果是( ) A.?1 B.1 C.2
D.12
6.在集合M??1,2,3,4,5?的所有非空子集中,任取一个集合A,恰
好满足条件“若x?A,则6?x?A”的概率是( ) A.331 B.531 C.731 D.931
7.已知下面正三棱柱的俯视图如右图所示,则这个三棱柱外接
球的体积为( ) 4
3
俯视图
A.28?
B.287?
C.28?3
D.2873?
8.向边长为2米的正方形木框ABCD内随机投掷一粒绿豆,记
绿豆落在P点,则
∠DPC∈(0,?2)的概率为( )
A. 1-?B.1-3?8
8 C.3?8
D.?8 9.双曲线C的左、右焦点分别为F1,F2,且F2恰 为抛物线y2?4x的焦
点,设双曲线C与该抛物线的一个交点为A,若?AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形,则双曲线C的离心率为( ) A. 1?2 B.2 C.1?3 D.210.若非零向量? A.|2?a|?|2?a??a,?b满足????3
b| B.|2?|a?ba|?|2?|?|a??b|,则(b| C.|2? )
b|?|?a?2?b| D.|2?b|?|?a?2b?| 11.已知函数f(x)?2|1?x|?|x?1|3(x?R)有4个零点x1,x2,x3,x4,且
x1?x2?x3?x4,则
f(x1?x4)?( )
A.0 B.1 C.2 D.32
12.已知数列?an?是等差数列,且a1??0,1?,a2??1,2?,a3??2,3?,则a4的取值范围为( ) A.?3,4?
B.??5,9??
C.??813??22??3,3??
D.?2,5?
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.使(x?1xx)10的展开式中系数大于
200的项共有 项.
14.设椭圆x24?y2?1的左焦点为F1,右焦点为F2,以F1F2为直径的
圆与椭圆在
x轴上方部分交于点
M,N,则
|F1M|?|F1N||F= .
1F2|15.在?ABC中,内角A、B、C的对边分别是a、b、c,若a2?b2?4a?2b?5,
且a2?b2?c2?bc,则sinB= _____________。
16. 气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的平均温
度均不低于22?C”,现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数) (1)甲地:5个数据的中位数为24,众数为22 (2)乙地:5个数据的中位数为27,总体均值为24 (3)丙地:5个数据中有一个数据是32,总体均值为26,总
体方差为10.8,则肯定进入夏季的地区是 .
三、解答题(本大题共5小题,每小题12分,共60分,解答
应写出文明说明、证明过程或演算步骤。) 17.已知m???(cos?x?sin?x,3cos?x), n??(cos?x?sin?x,2sin?x),其中??0,
若函数
f(x)??m???n,
且f(x)的对称中心到f(x)对称轴的最近距离不小于?4。
(1)求?的取值范围。
(2)在?ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,且a?3,b?c?3,
当?取最大值时,f(A)?1,求?ABC的面积。
18.某工厂生产A、B两种型号的玩具,其质量按测试指标划分
为:指标大于或等于83为正品,小于83为次品,现随机取这两种玩具进行检测,检测结果统计如下: 测试指[70,[76,[83,[88,[94,标 76) 83) 88) 94) 100) 玩具A(件) 8 12 40 32 8 玩具B(件) 7 18 40 29 6 (1)试分别估计玩具A为正品的概率和玩具B为正品的概率;
(2)生产1件玩具A,若是正品可盈利40元,若是次品则亏
损5元;生产1件玩具B,若是正品可盈利50元,若是次品则亏损10元,在(1)的前提下,
(i)记?为生产1件玩具A和1件玩具B所得的总利润,求随机变量?的分布列和数学期望;
(ii)求生产5件玩具B所获得的利润不少于140元的概率.
19.如图,在Rt?ABC中,?ACB??2,BC?2,CA?3,点P在线段AB 上,
且CP平分?ACB,将?BPC沿CP折成二面角S?CP?A(点B与
S重合),且SA?7. (1)求证:平面SPC?平B面APC;
(2)求二面角P?SC?A的
P正弦值.
CA
20.在平面直角坐标系xOy中,椭圆E的中心为原点,F1、F2分
别为E的左、右焦点,过F1的直线l交E于A、B两点,且
?ABF32的周长为43,离心率为3。 (1)求椭圆E的方程;
(2)过圆O:x2?y2?5上任意一点P作椭圆E的两条切线,若
切线斜率都存在,试探究这两条切线斜率之间的关系。
21.已知函数f(x)?lnx?ax(a?R)
(1)当a=1时,求f?x?在点?1,f?1??处的切线方程,判断切线
与f?x?图象的公共点个数,并说明理由;
(2)若f(x)?lnx?ax(a?R)有两个不同的零点x1,x2,求证:x1x22?e.
四、选做题(请考生从22、23、24三题中任选一题作答。如果
多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑,共10分)
22.如图,已知AD为圆O的直 径,直线BA与圆O相切于点A,
直线OB与弦AC垂直并相交于点G,与弧AC相交于M,连接DC,AB=10,AC=12
(1)求证:BA?DC=GC?AD ; (2)求BM.
23.在直角坐标系XOY中,以原点O为极点,以x轴正半轴为极
轴,与直角坐标系XOY取相同的长度单位,建立极坐标系,
已知点P的极坐标为???4,??2??,直线l的极坐标方程为
?cos???????4??=a,且点P在直线l上。
(1)求a的值及直线l的直角坐标方程; (2)设曲线C的参数方程?x=cos?y=3sin?(?为参数),求曲线C上
的点到直线l的最大值.
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