全国重点大学（清华北大复旦交大同济）自主招生数学试题

大学自主招生数学试题

17．若对于正实数x和y定义x?y?xyx?y，则 ( )

A．”*”是可以交换的，但不可以结合 B．”*”是可以结合的，但不可以交换

C．”*”既不可以交换，也不可以结合 D．”*”是可以交换和结合的

18．两个或两个以上的整数除以N(N为整数，N>1)，若所得的余数相同且都是非负数，则数学上定义这

两个或两个以上的整数为同余．若69，90和125对于某个N是同余的，则对于同样的N，81同余于

A．3

B．4

C．5

D．7

( )

三、计算题（本题共78分）

19．(本题10分)已知函数f(x)＝x2+2x+2，x∈[t,t+1]的最小值是g(t)．试写出g(t)的解析表达式．

(x?1x)?(x?1x33661x6)?2120．(本题12分)设对于x>0，f(x)?，求f(x)的最小值．

(x?)?x?x3

21．(本题16分)已知函数f1(x)?的解析表达式是什么？

22

22．(本题20分)已知抛物线族2y＝x-6xcost-9sint+8sint+9，其中参数t∈R．

(1) 求抛物线顶点的轨迹方程；

(2) 求在直线y＝12上截得最大弦长的抛物线及最大弦长．

23．(本题20分)设{xn}为递增数列，x1＝1，x2＝4，在曲线y?y Pn+1 Pn x上与之对应的点列为2x?1x?1，对于n＝1,2,3,…定义fn+1(x)＝f1[fn(x)]．若f35(x)＝f5(x)，则f28(x)

O Xn Xn+1 x P1(1,1),P2(4,2),P3(x3,x3),…,Pn(xn,xn)…，且以O为原点，由OPn、OPn+1与曲线PnPn+1所围成部

4分的面积为Sn，若{Sn}(n∈N)是公比为试求S1+S2+…+Sn+…和limxn．

n??的等比数列，图形XnXn+1Pn+1Pn的面积为(xn2?1?xn2)，

53233

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大学自主招生数学试题

复旦大学2001年选拔生考试数学试题

一、填空(每小题5分，共45分)

1．sinx?siny?0，则cos2x?sin2y?___________________．

2．平面?1, ?2成?的二面角，平面?1中的椭圆在平面?2中的射影是圆，那么椭圆短轴与长轴之比为

__________． 22

3．(x+2x+2)(y-2y+2)＝1，则x+y?________________________．

4．电话号码0，1不能是首位，则本市电话号码从7位升到8位，使得电话号码资源增加____． 5．2002?8a3+8a2+8a1+a0，0≤a0,a1,a2,a3≤7正整数，则a0?______________． 6．(x?1x15)的常数项为_________________．

32

7．limn??n(n?1?n)＝__________________．

8．空间两平面?,?，是否一定存在一个平面均与平面?,?垂直？___________． 9．在△ABC中，cos(2A?C)＝cos(2C?B)，则此三角形的形状是________________． 二、解答题(共87分)

1．求解：cos3xtan5x＝sin7x．

2．数列3，3?lg2，…,3?(n?1)lg2．问当n为几时，前n项的和最大？

3．求证：x∈R时，|x?1|≤4|x3?1|．

4．a为何值时，方程

lgxlg2?lg(a?x)lg2?log2(a?1)有解？只有一解？

2

5．一艘船向西以每小时10公里的速度航行，在它的西南方向有一台风中心正以每小时20公里速度向正

北方向移动，船与台风中心距离300米，在台风中心周围100米处将受到影响，问此船航行受台风影响的时间段长度？

6．x-2y＝1的所有整数解(x,y)，试证明：|

3

3

1xy?23|?4|y|3．

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大学自主招生数学试题

2002复旦基地班数学考题

1. 已知：sinx?siny?0则cos2x?cos2y?_______________。

2. x,y?R，?x2?2x?2??y2?2y?2??1，则x?y?_______________。

3. 空间两平面?1,?2，_______________ ?3与?1,?2均垂直? （请填“存在”或“不存在”） 4. 从奇偶性看：函数y?lnx?x2?1是_______________。

5. 平面?1,?2成?角，一椭圆E??1在?2内射影为一个圆，求椭圆长轴与短轴之比

_______________。

6. 2002?83a3?82a2?8a1?a0?1?ai?7,ai?N?，a3?_______________。 7. ?ABC中，cos?2A?C??cos?2B?C?，则?ABC为_______________。

8. 若0,1作为特殊号码不能放在首位，则电话号码由7位升至8位后，理论上可以增加

_______________电话资源。 9.

???3??1?x??中不含x的项为_______________。

x?1510. 解方程：cos3x?tan5x?sin7x

11. 一艘船以v1?10km/h向西行驶，在西南方向300km处有一台风中心，周围100km为暴雨

区，且以v2?20km/h向北移动，问该船遭遇暴雨的时间段长度。

12. 已知：0.3010?lg2?0.3011，要使数列3,3?lg2,?,3??n?1?lg2的前n项和最大，求n。 13. 参数a取何值时：

logaxloga2?logx?2a?x?logx2?1loga2?12

①有解?②仅有一解?

14. 在?0,??内，方程acos2x?3asinx?2?0有且仅有二解，求a的范围。 15. 证明方程：x?2y?1的任一组整数解?x,y??y?0?都有：

33xy1?23?4y3。

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大学自主招生数学试题

2002年交大联读班数学试卷

1. ?3?1，?是虚数，则?2n??n?1?_______________。

2. 函数y?ax?b?a,b?Z?的图象与三条抛物线y?x2?3、y?x2?6x?7、y?x2?4x?5分

别有2，1，0个交点，则?a,b??_______________。 3. 若3a?4b?6c，则

1a?12b?1c?_______________。

4. 若2x?2?x?2，则8x?_______________。 5. 函数y???secx?tanxsecx?tanx22的值域为_______________。

6. ?1?1??1??1?1??1???2??2?2?2??3??n?_______________。

1x27. 正实数x,y,z满足x2?y2?z2?1，则

?1y2?1z2的最小值是_______________。

8. 一个圆内接四边形ABCD，已知AB＝4，BC＝8，CD＝9，DA＝7，则cosA?_______________。 9. 实数a,b满足a1?b2?b1?a2?1，则a2?b2?_______________。

1??910. ?x2?1??的展开式中x的系数为_______________。

2x??911. 方程a2?x2?2?x，1?a?2，则方程有_______________个实数解。 12. ?ABC三边长a,b,c满足a?b?c，b?n，?a,b,c?N*?，则不同的三角形有_______________个。

13. 掷3个骰子，掷出点数之和为9的倍数的概率为_______________。 14. 若不等式0?x2?ax?5?4只有唯一实数解，则a?_______________。

15. 有两个两位数，它们的差是56，两数分别平方后，末两位数相同，则这两个两位数为

_______________。

16. 在一个环形地带上顺次有五所学校A、B、C、D、E，它们各有15、7、11、3、14台机

器，现要使机器平均分配，规定机器的运输必须在相邻学校间进行，为使总的运输台数最少，则A应给B_______________台，B应给C_______________台，A给 E_______________台，总共运输_______________台。 17. ①用数学归纳法证明以下结论：1?122?132????1n2?2?1n　?n?2,n?N*?。

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