全国重点大学（清华北大复旦交大同济）自主招生数学试题

大学自主招生数学试题

①证明:侧面A1ABB1和A1ACC1都是菱形，B1BCC1是矩形。 ②求棱柱的侧面所成的三个两面角的大小。 ③求棱柱的体积。

26. 在直角坐标系中，O是原点，A,B是第一象限内的点，并且A在直线y??tan??x上（其

中???????,2??4，OA??）

12?osc?，B是双曲线x2?y2?1上使?OAB的面积最小的点，求：

当?取?????,?中什么值时，?OAB的面积最大，最大值是多少? ?42?第 9 页 共 52 页

大学自主招生数学试题

2001年交大联读班数学试卷

1. 数N?212?58的位数是_______________。

2. log2??log3?log4x????log3??log4?log2y????log4??log2?log3z????0求

x?y?z?_______________。

3.

p?log83，q?log35，则用p,q表示lg5?_______________。

4. 2sin??sin??cos?，sin2??sin?cos?，求

??cos2?cos2??_______________。

5. x??0,?，求f?x??cosx?xsinx的最小值为_______________。

?2?6. 有一盒大小相同的球，它们既可排成正方形，又可排成一个正三角形，且正三角形每边

上的球恰比每边上正方形多2个小球，球数为_______________。

100?7. 数列1,3,2,?中，an?2?an?1?an，求?ai?_______________。

i?148.

?1?2x?x2?展开式中x7系数为_______________。

9. 一人排版，有三角形的一个角，大小为60?，角的两边一边长x，一边长9cm，排版时把

长x的那边错排成x?1长，但发现角和对边长度没变，则x?_______________。 10. 掷三粒骰子，三个朝上点恰成等差列?d?1?的概率为_______________。 11. ?a?1??b?1??2，则arctana?arctanb?（ ） 12. A．

?2 B．

?3 C．

?4 D．

?6

13. 某人向正东走xkm，再左转150?朝新方向走了3km，结果离出发点3km，则x?（ ）

A．3 B．23 C．3 D．不确定

11???14. ?1?232??1?216???1???2?1?2????（ ）

????11?1?32A．?1?2?2???1111???1?323232 B．?1?2? C．1?2 D．?1?2?

2????215. t?0，S??x,y??x?t??y2?t2，则（ ）

A．?t，?0,0??S B．S的面积??0,??

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??大学自主招生数学试题

C．对?t?5，S?第一象限 D．?t，S的圆心在y?x上

16. 一个圆盘被2n条等间隔半径与一条割线所分割，则不交叠区域最多有（ ）个

A．2n?2 B．3n?1 C．3n D．3n?1 17.

40?ik?0kcos?45?90k??（

? ）

1212A．

22 B．2122 C．xyx?y?21?20i? D．?21?20i?

18. 对x,y?R?，定义x*y?，则?*?满足（ ）

A．交换律 B．结合律 C．都不 D．都可 19. 60?90?125?modN?，则81?（ ）?modN?

A．3 B．4 C．5 D．6

20. f?x??x2?2x?2，在x??t,t?1?上最小值为g?t?，求g?t?。

1??6?6x?????x?x??2x??1??3?3x??x?x??x??3621. x?R?，求f?x??的最小值。

22. f1?x??2x?1，fn?1?x??f1?，求f28?x? fn?x????x?123. 2y?x2?6xcost?9sin2t?8sint?9（t?R,t为参数）

①求顶点轨迹，②求在y?12上截得最大弦长的抛物线及其长。 24. an为递增数列，a1?1，a2?4，在y?围成面积为Sn，若?Sn?为q?45x上对应为Pn?an,an?，以OPn,OPn?1与曲线PnPn?1?的等比数列，求?Si和liman。

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大学自主招生数学试题

2001年上海交通大学联读班数学试题

一、填空题（本题共40分，每小题4分） 1．数N?212?58的位数是________________．

2．若log2[log3(log4x)]＝log3[log4(log2y)]＝log4[log2(log3z)]＝0，则x+y+z＝_________． 3．若log23＝p，log35＝q，则用p和q表示log105为________________．

4．设sin?和sin?分别是sin?与cos?的算术平均和几何平均，则cos2?:cos2?＝____________． 5．设x?[0,?2]，则函数f(x)＝cosx+xsinx的最小值为________________．

6．有一盒大小相同的小球，既可将他们排成正方形，又可将它们排成正三角形，已知正三角形每边比正

方形每边多2个小球，则这盒小球的个数为____________． 7．若在数列1，3，2，…中，前两项以后的每一项等于它的前面一项减去再前面一项，则这个数列的前100项之和是_______________．

8．在(1+2x?x2)4的二项展开式中x7的系数是_______________．

9．某编辑在校阅教材时，发现这句：“从60°角的顶点开始，在一边截取9厘米的线段，在另一边截取a

厘米的线段，求两个端点间的距离”，其中a厘米在排版时比原稿上多1．虽然如此，答案却不必改动，即题目与答案仍相符合，则排错的a＝________________．

10．任意掷三只骰子，所有的面朝上的概率相同，三个朝上的点数恰能排列成公差为1的等差数列的概率

为_________________．

二、选择题（本题共32分，每小题4分）

11．a>0，b>0，若(a+1)(b+1)＝2，则arctana+arctanb＝

A．

?2

D．

?6( )

B．

?3 C．

?412．一个人向正东方向走x公里，他向左转150°后朝新方向走了3公里，结果他离出发点3公里，则x

是 A．3 13．(1?2A．

12?132 B．23 )(1?2?132 C．3

?14

D．不能确定

?132( )

?116)(1?2?18)(1?2)(1?2?12)? ( )

12(1?2?132(1?2)

?1B．(1?2?132)

?1C．1?2 D．)

14．设[t]表示≤ t的最大整数，其中t≥0且S＝{(x,y)|(x?T)2+y2≤T2,T＝t?[t]}，则

A．对于任何t，点(0,0)不属于S

C．对于所有的t≥5，S被包含在第一象限 最大个数是 A．2n+2

2

( )

B．S的面积介于0和?之间

D．对于任何t，S的圆心在直线y＝x上

C．3n

D．3n+1

40

15．若一个圆盘被2n(n>0)条相等间隔的半径和一条割线所分隔，则这个圆盘能够被分成的不交迭区域的

B．3n?1

n

( ) ( )

16．若i＝?1，则cos45°+icos135°+…+icos(45+90n)°+…+icos3645°＝

A．

12 B．

2122 C．

22(21?20i) D．

22(21?20i)

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