当前位置:首页 > 用配对法解题
用配对法解题
江苏省泰州市朱庄中学(225300) 曹开清
(本文发表在《少年智力开发报·数学专页》2009年第20期上)
在进行有理数运算时,恰到好处地运用配对法来求解,会收到化难为易、化繁为简的效果.
一、添项配对
例1 计算:11+192+1993+19994+199995+1999996+19999997+199999998+1999999999
分析:添上9+8+7+6+5+4+3+2+1,依次与原式各数配对.
解:原式=20+200+2000+20000+200000+2000000+20000000+200000000+2000000000 -(9+8+7+6+5+4+3+2+1) =2222222220-45=2222222175
二、分组配对
例2 计算:1-5+9-13+17-21+……+89-93+97-101. 分析:相邻两项依次配对,每一组的和都为-4,就能很快求解.
解:原式=(1-5)+(9-13) +(17-21)+……+(89-93)+(97-101) =-4×26=-104
例3 计算:1+2-3+4+5-6+7+8-9+…+97+98-99
分析:相邻三项依次配对,每一组的依次为0,3,6,……,96,很有规律. 解:原式=(1+2-3)+(4+5-6)+(7+8-9)+…+(97+98-99) =0+3+6+……+96
=3×(1+2+……+32)= 3×528=1584.
注:邻项配对适用于某些正负相间型数的求和问题. 例4 计算:(?1223991111?????????)?(??????????) 34100345101解:原式=
121319911?(?)?(?)????????(?)? 23344100100101=
11103?98?=98. 2101202三、逆序配对
例5 计算:-1-3-5-7-……-97-99. 分析:设S=-1-3-5-7-……-97-99
再将这个式子逆序写出,然后两式相加,将和为-100的项配对计算. 解:设S=-1-3-5-7-……-97-99 将这个式子逆序写出,得 S=-99-97-……-7-5-3-1 两式相加,得
2S=(-1-99)+(-3-97)+(-5-95)+……+(-97-3)+(-99-1) =-100×50=-5000
所以原式=-5000÷2=-2500. 注:这种方法也称高斯求和法.
例6 求所有分母不超过60的真分数的和:
11212312359?(?)?(??)????????(??????????) 23344460606060分析:考虑到在每一个括号内与首尾等距离的两个数相加的和为1,因此可以把括号内各项逆序排列后相加。 解:设S?1121231235859?(?)?(??)????????(???????????) 2334446060606060将S括号内的各项逆序排列,得
S?1213215958321?(?)?(??)????????(???????????) 2334446060606060两式相加,同分母分数配对求和,得
2S?1?2?3????????59?所以原式=1770÷2=885.
四、 裂项配对 例7 计算:
59?(1?59)?1770
21111?????????. 2?33?44?599?100分析:观察每一个分数,分子都是1,分母都是两个连续自然数的积. 因为
111111111111??,??,??,……,??, 2?3233?4344?54599?10099100拆开这些分数后,同分母分数配对相互抵消,算式中只剩下首尾两个分数. 解:原式?(?)?(?)?(?)????????(12131314141511?) 99100?11111111?????????????? 233445991001149??. 2100100?注:一般地,有
111??.
n?(n?1)nn?1例8 计算:
1111??????????. 1?44?77?1097?100111111111111?(?),?(?),?(?),……,1?43144?73477?103710分析:与例5类似,利用
1111?(?)拆项配对.
97?100397100解:原式?111111111(??????????????) 31447710971001133?(1?)?. 3100100注:一般地,当m?n时,
1111?(?). m?nn?mmn
五、错位配对 例9 计算:
11111???????????64 248162解:设S?11111???????????64 ,则 24816211111???????????63 2481622S?1?两式相减,得
1264?1原式?1?64?. 6422例10 计算:3?3?3?3????????3解:设S?3?3?3?3????????32342342008?32009
2008?32009,则
3S?32?33?34?35???????32009?32010
两式相减,得
2S?32010?3
32010?3所以原式?.
2注:一列数相加,后一项与前一项的比是同一常数时,常采用这种方法.
六、倒数配对 例11 计算:(1?1111)(1?)(1?)?????(1?) 22222349912131314131411)(1?)?1,9899(1?分析:注意到(1?)(1?)?1,(1?)(1?),(1?)(1?),……,
运用倒数关系配对计算比较简便.
解:原式=(1?)(1?)(1?)(1?)(1?)(1?)?????(1?12121313141411)(1?) 999911111111?(1?)[(1?)(1?)][(1?)(1?)][(1?)?????(1?)](1?)
2233449999?110050??. 299991111,?,……,?,?,-1,-2,-3,……,-2008,2009200832x2
-2009时,计算代数式2所对应的所有值的和.
x?1
例12 当x等于?分析:通过计算发现 当x=-2时,代数式的值为
411;当x??时,代数式的值为,它们两项的和为1. 525911;当x??时,代数式的值为,它们两项的和为1. 10310当x=-3时,代数式的值为…… 共2008对和为1.
?1???x2x21x?????1, 解:因为2?x?1?1?2x2?1x2?1???1?x?11x??时,时,两项值的和为1;当x=-3,两项值的和为1;……;
231当x=-2009,x??时,两项值的和为1. 这样的和共2008对.
2009x??所以,当x=-2,
21x2
又因为x=-1时,代数式2的值为
2x?1
所以,所有值的和?1?2008?
11?2008. 22
共分享92篇相关文档