用配对法解题

用配对法解题

江苏省泰州市朱庄中学（225300） 曹开清

（本文发表在《少年智力开发报·数学专页》2009年第20期上）

在进行有理数运算时，恰到好处地运用配对法来求解，会收到化难为易、化繁为简的效果.

一、添项配对

例1 计算：11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋1999999999

分析：添上9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1，依次与原式各数配对.

解：原式＝20＋200＋2000＋20000＋200000＋2000000＋20000000＋200000000＋2000000000 －(9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1) ＝2222222220－45＝2222222175

二、分组配对

例2 计算：1－5＋9－13＋17－21＋……＋89－93＋97－101. 分析：相邻两项依次配对，每一组的和都为－4，就能很快求解.

解：原式＝(1－5)＋(9－13) ＋(17－21)＋……＋(89－93)＋(97－101) ＝－4×26＝－104

例3 计算：1＋2－3＋4＋5－6＋7＋8－9＋…＋97＋98－99

分析：相邻三项依次配对，每一组的依次为0，3，6，……，96，很有规律. 解：原式＝(1＋2－3)＋(4＋5－6)＋(7＋8－9)＋…＋(97＋98－99) ＝0＋3＋6＋……＋96

＝3×(1＋2＋……＋32)＝ 3×528＝1584.

注：邻项配对适用于某些正负相间型数的求和问题. 例4 计算：(?1223991111?????????)?(??????????) 34100345101解：原式＝

121319911?(?)?(?)????????(?)? 23344100100101＝

11103?98?＝98. 2101202三、逆序配对

例5 计算：－1－3－5－7－……－97－99. 分析：设S＝－1－3－5－7－……－97－99

再将这个式子逆序写出，然后两式相加，将和为－100的项配对计算. 解：设S＝－1－3－5－7－……－97－99 将这个式子逆序写出，得 S＝－99－97－……－7－5－3－1 两式相加，得

2S＝(－1－99)＋(－3－97)＋(－5－95)＋……＋(－97－3)＋(－99－1) ＝－100×50＝－5000

所以原式＝－5000÷2＝－2500. 注：这种方法也称高斯求和法.

例6 求所有分母不超过60的真分数的和:

11212312359?(?)?(??)????????(??????????) 23344460606060分析：考虑到在每一个括号内与首尾等距离的两个数相加的和为1，因此可以把括号内各项逆序排列后相加。 解：设S?1121231235859?(?)?(??)????????(???????????) 2334446060606060将S括号内的各项逆序排列，得

S?1213215958321?(?)?(??)????????(???????????) 2334446060606060两式相加，同分母分数配对求和，得

2S?1?2?3????????59?所以原式＝1770÷2＝885.

四、 裂项配对 例7 计算：

59?(1?59)?1770

21111?????????. 2?33?44?599?100分析：观察每一个分数，分子都是1，分母都是两个连续自然数的积. 因为

111111111111??，??，??，……，??， 2?3233?4344?54599?10099100拆开这些分数后，同分母分数配对相互抵消，算式中只剩下首尾两个分数. 解：原式?(?)?(?)?(?)????????(12131314141511?) 99100?11111111?????????????? 233445991001149??. 2100100?注：一般地，有

111??.

n?(n?1)nn?1例8 计算：

1111??????????. 1?44?77?1097?100111111111111?(?)，?(?)，?(?)，……，1?43144?73477?103710分析：与例5类似，利用

1111?(?)拆项配对.

97?100397100解：原式?111111111(??????????????) 31447710971001133?(1?)?. 3100100注：一般地，当m?n时，

1111?(?). m?nn?mmn

五、错位配对 例9 计算：

11111???????????64 248162解：设S?11111???????????64 ，则 24816211111???????????63 2481622S?1?两式相减，得

1264?1原式?1?64?. 6422例10 计算：3?3?3?3????????3解：设S?3?3?3?3????????32342342008?32009

2008?32009，则

3S?32?33?34?35???????32009?32010

两式相减，得

2S?32010?3

32010?3所以原式?.

2注：一列数相加，后一项与前一项的比是同一常数时，常采用这种方法.

六、倒数配对 例11 计算：(1?1111)(1?)(1?)?????(1?) 22222349912131314131411)(1?)?1，9899(1?分析：注意到(1?)(1?)?1,(1?)(1?),(1?)(1?),……，

运用倒数关系配对计算比较简便.

解：原式＝(1?)(1?)(1?)(1?)(1?)(1?)?????(1?12121313141411)(1?) 999911111111?(1?)[(1?)(1?)][(1?)(1?)][(1?)?????(1?)](1?)

2233449999?110050??. 299991111，?，……，?，?，－1，－2，－3，……，－2008，2009200832x2

－2009时，计算代数式2所对应的所有值的和.

x?1

例12 当x等于?分析：通过计算发现 当x＝－2时，代数式的值为

411；当x??时，代数式的值为，它们两项的和为1. 525911；当x??时，代数式的值为，它们两项的和为1. 10310当x＝－3时，代数式的值为…… 共2008对和为1.

?1???x2x21x?????1， 解：因为2?x?1?1?2x2?1x2?1???1?x?11x??时，时，两项值的和为1；当x＝－3，两项值的和为1；……；

231当x＝－2009，x??时，两项值的和为1. 这样的和共2008对.

2009x??所以，当x＝－2，

21x2

又因为x＝－1时，代数式2的值为

2x?1

所以，所有值的和?1?2008?

11?2008. 22