(江苏专用)2020高考数学二轮复习 课时达标训练(八) ＂立体几何＂专题提能课

∴∠AFE＝90°.

设∠BAC＝θ，在Rt△PAC中，

AP·AC2×2cos θ2cos θAF＝＝＝， 22

PC21＋cos θ1＋cos θ在Rt△PAB中，AE＝PE＝2，∴EF＝AE－AF， 112∴VP-AEF＝AF·EF·PE＝AF·2－AF·2

66＝

22222422

·2AF－AF＝·－（AF－1）＋1≤，∴当AF＝1时，VP-AEF取得最大值，6666

2cos θ2

22此时AF＝

1＋cos θ＝1，∴cos θ＝

13

，sin θ＝

2

，∴tan θ＝2. 3

答案：2

3.如图所示，等腰△ABC的底边AB＝66，高CD＝3，点E是线段BD上异于点B，D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB，现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，记BE＝x，V(x)表示四棱锥P-ACFE的体积，则V(x)的最大值为________．

解析：因为PE⊥EF，PE⊥AE，EF∩AE＝E， 所以PE⊥平面ABC. 因为CD⊥AB，FE⊥AB， 所以EF∥CD，所以＝， 即＝，所以EF＝， 33661

所以S△ABC＝×66×3＝96，

2

EFBECDBDxEFxS△BEF＝×x×

12

x6

＝

62

x， 12

12?1?6?6?

所以V(x)＝×?96－x2?x＝x?9－x?(0＜x＜36)．

3?3?12?12?因为V′(x)＝

6?12?

?9－x?， 3?4?

所以当x∈(0，6)时，V′(x)＞0，V(x)单调递增； 当6＜x＜36时，V′(x)＜0，V(x)单调递减， 因此当x＝6时，V(x)取得最大值126. 答案：126

4. 如图①所示，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，CD为∠ACB的平分线，点E在线段AC上，CE＝4.如图②所示，将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连结

AB，设点F是AB的中点．

(1)求证：DE⊥平面BCD；

(2)若EF∥平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥B-DEG的体积． 解：(1)证明：在题图①中，

因为AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，所以∠ACB＝60°.

因为CD为∠ACB的平分线，所以∠BCD＝∠ACD＝30°，所以CD＝23. 又因为CE＝4，∠DCE＝30°，所以DE＝2. 则CD＋DE＝CE，所以∠CDE＝90°，即DE⊥CD.

在题图②中，因为平面BCD⊥平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，DE?平面ACD，所以

2

2

2

DE⊥平面BCD.

(2)在题图②中，因为EF∥平面BDG，EF?平面ABC，平面ABC∩平面BDG＝BG，所以EF∥BG. 因为点E在线段AC上，CE＝4，点F是AB的中点， 所以AE＝EG＝CG＝2. 过点B作BH⊥CD交于点H.

因为平面BCD⊥平面ACD，BH?平面BCD， 所以BH⊥平面ACD. 3由条件得BH＝.

2

111

又S△DEG＝S△ACD＝×AC·CD·sin 30°＝3，

332

1133

所以三棱锥B-DEG的体积为V＝S△DEG·BH＝×3×＝. 3322

5．(2020·南昌模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1.设M，N分别为PD，

AD的中点．

(1)求证：平面CMN∥平面PAB； (2)求三棱锥P-ABM的体积．

解：(1)证明：∵M，N分别为PD，AD的中点， ∴MN∥PA，又MN?平面PAB，PA?平面PAB， ∴MN∥平面PAB.

在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN， ∴∠ACN＝60°.又∠BAC＝60°，∴CN∥AB. ∵CN?平面PAB，AC?平面PAB， ∴CN∥平面PAB.

又CN∩MN＝N，∴平面CMN∥平面PAB. (2)由(1)知，平面CMN∥平面PAB，

∴点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离． ∵AB＝1，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，∴BC＝3， ∴三棱锥P-ABM的体积V＝VM-PAB＝VC-PAB＝VP-ABC 113＝××1×3×2＝. 323

6．(2020·南通等七市二模)图1是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图2，屋顶由四坡屋面构成，其中前、后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，左、右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形．点F在平面ABCD和BC上的射影分别为H，M.π??已知HM＝5 m，BC＝10 m，梯形ABFE的面积是△FBC面积的2.2倍．设∠FMH＝θ?0<θ

4??

(1)求屋顶面积S关于θ的函数关系式；

(2)已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k(k为正常数)，下部主体造价与其高度成正比，比例系数为16k.现欲造一栋上、下总高度为6 m的新农村别墅，试问：当θ为何值时，总造价最低？

解：(1)由题意知，FH⊥平面ABCD，FM⊥BC， 由HM?平面ABCD，得FH⊥HM. 在Rt△FHM中，HM＝5，∠FMH＝θ， 5

所以FM＝.

cos θ1525

因此S△FBC＝×10×＝.

2cos θcos θ从而屋顶面积S＝2S△FBC＋2S梯形ABFE＝2×

2525160

＋2××2.2＝， cos θcos θcos θπ?160?

0＜θ＜所以屋顶面积S关于θ的函数关系式为S＝??.

4?cos θ?(2)在Rt△FHM中，FH＝5tan θ，所以下部主体高度h＝6－5tan θ. 所以别墅总造价y＝S·k＋h·16k ＝＝

160

·k＋(6－5tan θ)·16k cos θ16080sin θ k－ k＋96k cos θcos θ＝80k·?

?2－sin θ?＋96k，

??cos θ?

2－sin θπ

记f(θ)＝，0＜θ＜，

cos θ42sin θ－1

则f′(θ)＝， 2

cosθ1ππ

令f′(θ)＝0，得sin θ＝，又0＜θ＜，所以θ＝. 246当θ变化时，f′(θ)，f(θ)的变化情况如下表所示，

θ f′(θ) f(θ)

?0，π? ?6???－ π 60 3 ?π，π? ?64???＋ π

所以当θ＝时，f(θ)取得最小值．

6π

即当θ为时该别墅总造价最低．

6