(江苏专用)2020高考数学二轮复习 课时达标训练(八) ＂立体几何＂专题提能课

课时达标训练(八) “立体几何”专题提能课

A组——易错清零练

1．设l，m表示直线，m是平面α内的任意一条直线．则“l⊥m”是“l⊥α”成立的____________条件(在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中选填一个)．

解析：由l⊥m，m?α，可得l?α，l∥α或l与α相交，推不出l⊥α；由l⊥α，

m?α，结合线面垂直的定义可得l⊥m.故“l⊥m”是“l⊥α”成立的必要不充分条件．

答案：必要不充分

2．(2020·南京盐城二模)已知正四棱锥P-ABCD的所有棱长都相等，高为2，则该正四棱锥的表面积为________．

解析：设正四棱锥P-ABCD的棱长为2x，则斜高为3x，所以(2)＋x＝(3x)，得x1

＝1，所以该正四棱锥的棱长为2，表面积S＝4＋4××2×2sin 60°＝43＋4.

2

答案：43＋4

3.(2020·苏州期末)如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥所得的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面的大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥的体积为________．

解析：如图，记挖去的正三棱锥为正三棱锥P-ABC，则该正三棱锥的底面三角形ABC内接于半球底面的大圆，顶点P在半球面上．设BC的中点为D，连接AD，过点P作PO⊥平面ABC，交AD于点O，则AO＝PO＝2，

2

2

2

AD＝3，AB＝BC＝23，所以S△ABC＝×23×3＝33，所以挖去的正三棱

11

锥的体积V＝S△ABC×PO＝×33×2＝23.

33

答案：23

4．(2020·常州期末)已知圆锥SO，过SO的中点P作平行于圆锥底面的截面，以截面圆为上底面作圆柱PO，圆柱的下底面落在圆锥的底面上(如图)，则圆柱PO的体积与圆锥SO的体积的比值为________．

解析：设圆锥SO的底面圆的半径为r，高为h，则圆柱PO的底面圆的半

1

2

11

径为r，高为h，故圆柱PO的体积与圆锥SO的体积的比值为

22

3答案：

8

?1?1π?r?×h?2?23

12πrh3

2

＝. 8

B组——方法技巧练

1．(2020·山东联考)如图，ABCD-A1B1C1D1是棱长为4的正方体，P-QRH是棱长为4的正四面体，底面ABCD，QRH在同一个平面内，BC∥QH，则正方体中过AD且与平面PHQ平行的截面面积是________．

解析：设截面与A1B1，D1C1分别相交于点E，F，则EF∥AD.过点P作平面QRH的垂线，垂43

足为O，则O是△QRH的中心．设OR∩HQ＝G，则∠EAB＝∠PGO.由RG＝23得RO＝2OG＝，

3

463PO22422?43?2462

4－?＝，所以sin∠EAB＝sin∠PGO＝＝＝，即＝，则EA?3PG233EA3?3?

PO＝

＝32，所以四边形AEFD的面积S＝4×32＝122.

答案：122

2．在空间中，用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列四个命题： ①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c； ③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b. 其中真命题的序号为________．

解析：根据公理知平行于同一条直线的两条直线互相平行，①正确；根据线面垂直性质定理知“同垂直一个平面的两条直线平行”，知④正确；②③均不恒成立．故选①④.

答案：①④

3．(2020·宿迁模拟)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱AA1，BB1，CC1分别交于三点M，N，Q，若△MNQ为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为________．

解析：如图，不妨设N在B处，设AM＝h，CQ＝m， 则MB＝h＋4，BQ＝m＋4，MQ＝(h－m)＋4，

2

2

2

2

2

2

由MB＝BQ＋MQ，得m－hm＋2＝0.Δ＝h－8≥0?h≥8，该直角三角形斜边MB＝ 4＋h≥4＋8＝23，

故该直角三角形斜边长的最小值为23. 答案：23

4．(2020·如皋中学模拟)如图，已知三棱柱ABC-A′B′C′的侧棱垂直于底面，AB＝AC，∠BAC＝90°，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．

(1)求证：MN∥平面AA′C′C；

(2)设AB＝λ AA′，当λ为何值时，CN⊥平面A′MN，试证明你的结论． 解：(1)证明：如图，取A′B′ 的中点E，连接ME，NE.

2

222222

因为M，N分别为A′B和B′C′的中点，所以NE∥A′C′，ME∥AA′.

又A′C′?平面AA′C′C，AA′?平面AA′C′C，NE?平面 AA′C′C，ME?平面AA′C′C， 所以ME∥平面AA′C′C，NE∥平面AA′C′C， 又因为ME∩NE＝E，所以平面MNE∥平面AA′C′C， 因为MN?平面MNE，所以MN∥平面AA′C′C. (2)连接BN，设AA′＝a，则AB＝λAA′＝λa， 由题意知BC＝2λa，CN＝BN＝ a2＋λ2a2，

1

2

因为三棱柱ABC-A′B′C′的侧棱垂直于底面， 所以平面A′B′C′⊥平面BB′C′C. 因为AB＝AC，点N是B′C′的中点，

所以A′B′＝A′C′，A′N⊥B′C′，所以A′N⊥平面BB′C′C， 又CN?平面BB′C′C，所以CN⊥A′N， 要使CN⊥平面A′MN，只需CN⊥BN即可，

?2122?22222

所以CN＋BN＝BC，即2?a＋λa?＝2λa，

2??

解得λ＝2，故当λ＝2 时，CN⊥平面A′MN.

5.如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面BCE，BE⊥EC. (1)求证：平面AEC⊥平面ABE；

(2)点F在BE上，若DE∥平面ACF，求 的值． 解：(1)证明：因为四边形ABCD为矩形，所以AB⊥BC.

因为平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD∩平面BCE＝BC，AB?平面ABCD，所以AB⊥平面

BFBEBCE.

因为EC?平面BCE，所以EC⊥AB.

因为EC⊥BE，AB?平面ABE，BE?平面ABE，AB∩BE＝B，所以EC⊥平面ABE. 因为EC?平面AEC，所以平面AEC⊥平面ABE. (2) 连结BD交AC于点O，连结OF.

因为DE∥平面ACF，DE?平面BDE，平面ACF∩平面BDE＝OF，所以DE∥OF.

又因为矩形ABCD中，O为BD的中点，所以F为BE的中点，即1＝. 2

C组——创新应用练

1．下列命题：

①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α； ②若直线a在平面α外，则a∥α； ③若直线a∥b，直线b?α，则a∥α；

④若直线a∥b，b?α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线． 其中真命题的个数为________．

解析：对于①，∵直线l虽与平面α内的无数条直线平行，但l有可能在平面α内，∴l不一定平行于α，∴①是假命题；

对于②，∵直线a在平面α外，包括两种情况：a∥α和a与α相交，∴②是假命题； 对于③，∵a∥b，直线b?α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴

BFBEa不一定平行于α，∴③是假命题；

对于④，∵a∥b，b?α，那么a?α或a∥α，∴a与平面α内的无数条直线平行，∴④是真命题.

答案：1

2.如图，已知AB为圆O的直径，C为圆上一动点，PA⊥圆O所在的平面，且PA＝AB＝2，过点A作平面α⊥PB，分别交PB，PC于E，F，当三棱锥P-AEF的体积最大时，tan∠BAC＝________．

解析：∵PB⊥平面AEF，∴AF⊥PB.

又AC⊥BC，AP⊥BC，∴BC⊥平面PAC，∴AF⊥BC，∴AF⊥平面PBC，