高中数学典型例题解析(第十二章统计1)

第十二章 统计

12．1抽样方法

一、

知识导学

1．抽签法：

（1）将总体中的所有个体编号（号码可以从1到N）；

（2）将1到N这N个号码写在形状、大小相同的号签上（号签可以用小球、卡片、纸条等制作）；

（3）将号签放在同一箱中，并搅拌均匀；

（4）从箱中每次抽出1个号签，并记录其编号，连续抽取k次； （5）从总体中将与抽到的签的编号相一致的个体取出. 2．随机数表法：

（1）对总体中的个体进行编号（每个号码位数一致）； （2）在随机数表中任选一个数作为开始；

（3）从选定的数开始按一定的方向读下去，得到的数码若不在编号中，则跳过；若在编号中，则取出；如果得到的号码前面已经取出，也跳过；如此继续下去，直到取满为止； （4） 根据选定的号码抽取样本.

3．系统抽样（等距抽样）：

（1）采用随机的方式将总体中的个体编号； （2）将整个的编号按一定的间隔（设为k）分段，当容量）是整数时，k?/N（N为总体中的个体数，n为样本nNN；当不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中个nnN/体的个数N能被n整除，这时k?，并将剩下的总体重新编号；

n（3）在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号l； （4）将编号为l,l?k,l?2k,..........,l?(n?1)k的个体抽出.

4．分层抽样：

（1）将总体按一定标准分层；

（2）计算各层的个体数与总体的个数的比；

（3）按各层个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量； （4）在每一层进行抽样（可用简单随机抽样或系统抽样）. 二．疑难知识导析

1．简单随机抽样是从总体中逐个不放回地抽取.

2．简单随机抽样和系统抽样都是一种等概率抽样，即每个个体被抽到的可能性都是相同的. 3．简单随机抽样适用于总体中个体较少的情况；系统抽样适用于总体中个体数较多的情形；分层抽样用于总体由几个差异明显的部分组成的情况.

4． 分层抽样时，在每一层内进行抽样时可根据具体情况，采用简单随机抽样或系统抽样. 5． 在使用分层抽样时，在每一层内抽样的比例相同.

三．经典例题导讲

[例1]某工厂生产A,B,C,D四种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5：1，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A型号有16件，那么此样本容量n是多少？

错解：样本容量16?2=2（件）

2?3?5?1错因：混淆了A型号产品与样本容量的比例关系.

正解：在分层抽样中，每一层所抽的个体数的比例与总体中各层个体数的比例是一致的，所以，样本容量为n?2?3?5?1?16?88

2答：此样本容量为88件.

[例2]从1002名学生中选取100名进行抽样检查.请用系统抽样法设计一种方案，叙述其步骤.

解：（1）将1002名学生进行编号，号码分别为1，2，……，1002； （2）用随机数表法剔除2个个体，并将剩下的学生重新编号，号码分别为1，2，……1000；

（3）将1000个号码平均分成100组，并在第一组1，2，……，10中用简单随机抽样法确定一个号码（如l）；

（2） 将号码为l,10?l,20?l,......990?l的个体抽出.

[例3]某学校有2005名学生，从中选取20人参加学生代表大会，采用简单随机抽样方法进行抽样，是用抽签法还是随机数表法？如何具体实施？

分析：由于学生人数较大，制作号签比较麻烦，所以决定用随机数表法 解：采用随机数表法 实施步骤：

（1） 对2005名同学进行编号，0000-2004

（2） 在随机数表中随机地确定一个数作为开始，如21行45列的数字9开始的4位：9706；

依次向下读数，5595，4904,………，如到最后一行，转向左边的四位数字号码，并向上读，凡不在0000-2004范围内的，则跳过，遇到已读过的数也跳过，最后得到号码为：0011，0570，1449，1072，1338，0076，1281，1866，1349，0864，0842，0161，1839，0895，1326，1454，0911，1642，0598，1855的学生组成容量为20的样本. [例4]某工厂有3条生产同一产品的流水线，每天生产的产品件数分别是3000件，4000件，8000件.若要用分层抽样的方法从中抽取一个容量为150件产品的样本，应该如何抽样？ 解：总体中的个体数N=3000+4000+8000=15000

样本容量n=150

抽样比例为

n1501?? N150001001=30件产品 100所以应该在第一条流水线生产的产品中随机抽取3000?在第二条流水线生产的产品中随机抽取：4000?1=40件产品 1001在第三条流水线生产的产品中随机抽取：5000?=50件产品

100这里因为每条流水线所生产的产品数都较多，所以，在每条流水线的产品中抽取样品时，宜采用系统抽样方法 四．典型习题导练

1．为了解某班50名同学的会考及格率，从中抽取10名进行考查分析，则在这次考查中，考查的总体内个体总数为 样本容量为 .

2．采用系统抽样从含有2000个个体的总体（编号为0000，0001，……，1999）中抽取一个容量为100的样本，则第一段的编号为 若在第一段中用简单随机抽样得到起始个体编号为0013，则前6个入样编号为 .

3．某市为了了解职工的家庭生活状况，先将职工所在的国民经济行业分成13类，然后每个行业抽

1的职工家庭进行调查，这种抽样方法是 . 1004．用分层抽样的方法在一个企业中抽取一个样本容量为50的样本，其中在管理营销部门抽了15人，技术部门10人，其余在生产工人中抽取，已知该企业有生产工人375人，那么这个企业共有多少职工？

?中抽取一个容量为5．采用简单随机抽样从含有5个人的身高的总体?162,167,161,171,1732的样本，写出全部样本，并计算各个样本的平均值，各样本平均值的平均值.

12.2频率分布直方图、折线图与茎叶图

一、知识导学

1．频率分布表：反映总体频率分布的表格.

2．一般地，编制频率分布表的步骤如下：（1）求全距，决定组数和组距，组距=

全距；组数（2）分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；（3）登记频数，计算频率，列出频率分布表.

3． 频率（分布）直方图：利用直方图反映样本的频率分布规律.

4． 一般地，作频率分布直方图的方法为：（1）把横轴分成若干段，每一线段对应一个组

的组距；（2）以此线段为底作矩形，它的高等于该组的

频率，这样得出一系列的矩形；组距（3）每个矩形的面积恰好是该组上的频率.

5． 频率折线图：如果将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连接起，就得

到一条折线，称这条折线为本组数据的频率折线图.

6． 制作茎叶图的方法是：将所有两位数的十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”，茎

相同者共用一个茎，茎按从小到大的顺序从上向下列出，共茎的叶一般按从大到小（或从小到大）的顺序同行列出. 二、疑难知识导析

1． 在编制频率分布表时，要选择适当的组距和起始点才可以使频率分布表更好地反映数据

的分布情况.

2． 在编制频率分布表时，如果取全距时不利于分组（如不能被组数整除），可适当增大全

距，如在左右两端各增加适当范围（尽量使两端增加的量相同）.

3． 频率折线图的优点是它反映了数据的变化趋势，如果将样本容量取得足够大，分组的组

距取得足够小，则这条折线将趋于一条曲线，我们称这一曲线为总体分布的密度曲线. 4． 茎叶图对于分布在0~99的容量较小的数据比较合适，此时，茎叶图比直方图更详尽地

表示原始数据的信息.

5． 在茎叶图中，茎也可以放两位，后面位数多可以四舍五入后再制图. 三、典型例题导讲

[例1]一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）.为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人用再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在?2500,3000?（元）月收入段应抽出 人.

解析:由直方图可得

[2500,3000)（元）

月收入段共有

10000?0.0005?500?2500人，

按分层抽样应抽出2500?100?25人.故 答案 25

10000点评：频率分布直方图中，关健要理解图中数据的意义，特别是图中每个小矩形的面积才是这一组距内个体的频率.

[例2]从有甲乙两台机器生产的零件中各随机抽取15个进行检验，相关指标的检验结果为： 甲：534，517，528，522，513，516，527，526，520，508，533，524，518，522，512 乙：512，520，523，516，530，510，518，521，528，532，507，516，524，526，514 画出上述数据的茎叶图 错解：

甲 乙

8 0 7

87632 1 024668 8764220 2 013468 43 3 02 4

错因：对于两位数是将两位数的十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”，茎相同者共用一个茎，茎按从小到大的顺序从上向下列出，共茎的叶一般按从大到小（或从小到大）的顺序同行列出，对于三位数字，应该把前两位数字作为茎，最后一位数字作为叶，然后从图中观察数据的分布情况，而不是仍考虑两位数，尽管此题的效果一样. 正解：用前两位数作为茎，茎叶图为

甲 乙

8 50 7

87632 51 024668 8764220 52 013468 43 53 02 54

从图中可以看出，甲机床生产的零件的指标分布大致对称，平均分在520左右，中位数