2020年高考数学（理）一轮复习讲练测专题3-3导数与函数的极值、最值（讲）

(2)若所给的闭区间[a，b]含有参数，则需对函数f(x)求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值．

【变式3】(2019·广东五校联考)已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数. (1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；

(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值. 【解析】(1)易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，

11－x当a＝－1时，f(x)＝－x＋ln x，f′(x)＝－1＋＝，

xx令f′(x)＝0，得x＝1.

当00；当x>1时，f′(x)<0.

∴f(x)在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数. ∴f(x)max＝f(1)＝－1.

∴当a＝－1时，函数f(x)在(0，＋∞)上的最大值为－1. 111

，＋∞?. (2)f′(x)＝a＋，x∈(0，e]，∈??xx?e

1

①若a≥－，则f′(x)≥0，从而f(x)在(0，e]上是增函数，

e∴f(x)max＝f(e)＝ae＋1≥0，不合题意.

111

②若a<－，令f′(x)>0得a＋>0，结合x∈(0，e]，解得0

exa11

令f′(x)<0得a＋<0，结合x∈(0，e]，解得－

xa11

0，－?上为增函数，在?－，e?上为减函数， 从而f(x)在?a???a?11－?＝－1＋ln?－?. ∴f(x)max＝f??a??a?11

－?＝－3，得ln?－?＝－2， 令－1＋ln??a??a?即a＝－e2.

1

∵－e2<－，∴a＝－e2为所求.

e故实数a的值为－e2.

考点四 利用导数求解最优化问题

【典例4】 (2017·全国Ⅰ卷)如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.

沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为______.

【解析】由题意，连接OD，交BC与点G，

由题意，OD⊥BC，设OG＝x，则BC＝23x，DG＝5－x，三棱锥的高 h＝DG2－OG2＝25－10x＋x2－x2＝25－10x， 1

S△ABC＝·(23x)2·sin 60°＝33x2，

2

1

则三棱锥的体积V＝S△ABC·h＝3x2·25－10x＝3·25x4－10x5，

350，?， 令f(x)＝25x4－10x5，x∈??2?则f′(x)＝100x3－50x4，

令f′(x)＝0得x＝2，当x∈(0，2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 5

2，?时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x∈??2?故当x＝2时，f(x)取得最大值80， 则V≤3×80＝415. ∴体积最大值为415 cm3. 【答案】415 【方法技巧】

1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：

(1)设自变量、因变量，建立函数关系式y＝f(x)，并确定其定义域； (2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；

(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)回归实际问题作答.

2.如果目标函数在定义域内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点.

【变式4】（2019·山东菏泽一中质量检测）传说中孙悟空的“如意金箍棒”是由“定海神针”变形得来的.这定海神针在变形时永远保持为圆柱体，其底面半径原为12 cm且以每秒1 cm等速率缩短，而长度以每秒20 cm等速率增长.已知神针的底面半径只能从12 cm缩到4 cm，且知在这段变形过程中，当底面半径为10 cm时其体积最大.假设孙悟空将神针体积最小时定形成金箍棒，则此时金箍棒的底面半径为________ cm.

【解析】设神针原来的长度为a cm，t秒时神针的体积为V(t) cm3，则V(t)＝π(12－t)2·(a＋20t)，其中0≤t≤8，所以V′(t)＝[－2(12－t)(a＋20t)＋(12－t)2·20]π。因为当底面半径为10 cm时其体积最大，所以10＝12－t，解得t＝2，此时V′(2)＝0，解得a＝60，所以V(t)＝π(12－t)2·(60＋20t)，其中0≤t≤8，V′(t)＝60π(12－t)(2－t)，当t∈(0，2)时，V′(t)>0，当t∈(2，8)时，V′(t)<0，从而V(t)在(0，2)上单调递增，在(2，8)上单调递减，V(0)＝8 640π，V(8)＝3 520π，所以当t＝8时，V(t)有最小值3 520π，此时金箍棒的底面半径为4 cm。

【答案】4