2020年高考数学（理）一轮复习讲练测专题3-3导数与函数的极值、最值（讲）

专题3.3 导数与函数的极值、最值

1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件； 2.会用导数求函数的极大值、极小值； 3.会求闭区间上函数的最大值、最小值。

知识点1.函数的单调性与导数的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导，则： (1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增； (2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减； (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数. 知识点2.函数的极值与导数

f′(x0)＝0 条件 x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0 x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0 图象 形如山峰 极值 极值点 f(x0)为极大值 x0为极大值点 形如山谷 f(x0)为极小值 x0为极小值点 知识点3.函数的最值与导数 (1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件

如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. (2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤

①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；

②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

【特别提醒】

1.函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.

2.对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件.

3.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.

4.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.

考点一 利用导数解决函数的极值

1

【典例1】(2019·哈尔滨三中模拟)已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)，当a＝时，求f(x)的极值；

211112－x

【解析】当a＝时，f(x)＝ln x－x，函数的定义域为(0，＋∞)且f′(x)＝－＝，

22x22x令f′(x)＝0，得x＝2，

于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表.

x f′(x) f(x) (0，2) ＋ 2 0 ln 2－1 (2，＋∞) － 故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值＝f(2)＝ln 2－1，无极小值。

【方法技巧】运用导数求可导函数y＝f(x)的极值的一般步骤：(1)先求函数y＝f(x)的定义域，再求其导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检查导数f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.特别注意：导数为零的点不一定是极值点.

【变式1】 (2019·河北衡水深州中学测试)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数. 【解析】由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)， 1－ax1

f′(x)＝－a＝(x>0).

xx

当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，

即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点； 1

0，?时，f′(x)>0， 当a>0时，当x∈??a?1

，＋∞?时，f′(x)<0， 当x∈?a??1

故函数在x＝处有极大值.

a

综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值点， 1

当a>0时，函数y＝f(x)有一个极大值点，且为x＝.

a考点二 已知函数的极(最)值求参数的取值范围

【典例2】 (2018·北京卷)设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex. ①若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，求a； ②若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围. 【解析】①因为f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex， 所以f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex. f′(1)＝(1－a)e.

由题设知f′(1)＝0，即(1－a)e＝0，解得a＝1. 此时f(1)＝3e≠0. 所以a的值为1.

②f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex＝(ax－1)(x－2)ex. 1?1

若a>，则当x∈??a，2?时，f′(x)<0； 2当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0. 所以f(x)在x＝2处取得极小值.

11

若a≤，则当x∈(0，2)时，x－2<0，ax－1≤x－1<0，

22所以f′(x)>0.所以2不是f(x)的极小值点. 1?综上可知，a的取值范围是??2，＋∞?.

【方法技巧】 已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.

【变式2】(2017·全国Ⅱ卷)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·exA.－1

B.－2e3

－

－1

的极值点，则f(x)的极小值为( )

C.5e3

－

－

D.1

【解析】f′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]·ex1， 则f′(－2)＝[4－2(a＋2)＋a－1]·e3＝0?a＝－1， 则f(x)＝(x2－x－1)·ex1，f′(x)＝(x2＋x－2)·ex1， 令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝1， 当x<－2或x>1时，f′(x)>0， 当－2

所以x＝1是函数f(x)的极小值点， 则f(x)极小值为f(1)＝－1. 【答案】A

考点三 利用导数研究函数的最值

【典例3】 (2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2sin x＋sin 2x，则f(x)的最小值是________． 【解析】f′(x)＝2cos x＋2cos 2x＝2cos x＋2(2cos2x－1) ＝2(2cos2x＋cos x－1)＝2(2cos x－1)(cos x＋1)． ∵cos x＋1≥0，

1

∴当cos x＜时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；

21

当cos x＞时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．

21

∴当cos x＝，f(x)有最小值．

2

又f(x)＝2sin x＋sin 2x＝2sin x(1＋cos x)， ∴当sin x＝－

3

时，f(x)有最小值， 2

333??1?1＋＝－×.

22??2?－

－

－

?－即f(x)min＝2×

?

33【答案】－

2

【方法技巧】求函数f(x)在闭区间[a，b]内的最值的思路

(1)若所给的闭区间[a，b]不含有参数，则只需对函数f(x)求导，并求f′(x)＝0在区间[a，b]内的根，再计算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．