人教版A版2019版一轮创新思维文科数学练习：第七章第五节空间中的垂直关系

课时规范练 A组 基础对点练

1.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，

PA⊥平面ABC，则四面体PABC中共有直角三角形个数为( )

A．4 C．2

B．3 D．1

解析：由PA⊥平面ABC可得△PAC，△PAB是直角三角形，且PA⊥BC.又∠ABC＝90°，即

AB⊥BC，所以△PBC是直角三角形，且BC⊥平面PAB，又PB?平面PAB，所以BC⊥PB，即

△PBC为直角三角形，故四面体PABC中共有4个直角三角形． 答案：A

2．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是( ) A．a⊥α，b∥β，α⊥β C．a?α，b⊥β，α∥β

B．a⊥α，b⊥β，α∥β D．a?α，b∥β，α⊥β

解析：对于C项，由α∥β，a?α可得α∥β，又b⊥β，得a⊥b，故选C. 答案：C

3．(2018·兰州诊断考试)设α，β，γ为不同的平面，m，n为不同的直线，则m⊥β的一个充分条件是( ) A．α⊥β，α∩β＝n，m⊥n B．α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γ C．α⊥β，β⊥γ，m⊥α D．n⊥α，n⊥β，m⊥α

解析：A不对，m可能在平面β内，也可能与β平行；B，C不对，满足条件的m和β可能相交，也可能平行；D对，由n⊥α，n⊥β可知α∥β，结合m⊥α知m⊥β，故选D. 答案：D

4．设a，b，c是空间的三条直线，α，β是空间的两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是 ( )

A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥β B．当b?α时，若b⊥β，则α⊥β

C．当b?α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥b D．当b?α，且c?α时，若c∥α，则b∥c

解析：A的逆命题为：当c⊥α时，若α∥β，则c⊥β.由线面垂直的性质知c⊥β，故A正确；B的逆命题为：当b?α时，若α⊥β，则b⊥β，显然错误，故B错误；C的逆命题为：当b?α，且c是a在α内的射影时，若a⊥b，则b⊥c.由三垂线逆定理知b

1

⊥c，故C正确；D的逆命题为：当b?α，且c?α时，若b∥c，则c∥α.由线面平行判定定理可得c∥α，故D正确。 答案：B

5.如图，O是正方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与

B1O垂直的是( )

A．A1D C．A1D1

B．AA1 D．A1C1

解析：连接B1D1(图略)，则A1C1⊥B1D1，根据正方体特征可得BB1⊥A1C1，故A1C1⊥平面BB1D1D，

B1O?平面BB1D1D，所以B1O⊥A1C1.

答案：D

6.如图，在三棱锥DABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，

则下列命题中正确的有________(写出全部正确命题的序号)． ①平面ABC⊥平面ABD； ②平面ABD⊥平面BCD；

③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE； ④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE.

解析：由AB＝CB，AD＝CD知AC⊥DE，AC⊥BE，从而AC⊥平面BDE，所以平面ABC⊥平面

BDE，且平面ACD⊥平面BDE，故③正确．

答案：③

7.如图，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE⊥PC，

AF⊥PB，给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中正确的结论有________．

解析：①AE?平面PAC，BC⊥AC，BC⊥PA?AE⊥BC，故①正确；②AE⊥PC，

AE⊥BC，PB?平面PBC?AE⊥PB，AE⊥PB，EF?平面AEF?EF⊥PB，故②正确；③AF⊥PB，

若AF⊥BC?AF⊥平面PBC，则AF∥AE与已知矛盾，故③错误；由①可知④正确． 答案：①②④

8.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)

解析：如图，连接AC，BD，则AC⊥BD，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥

BD.

又PA∩AC＝A， ∴BD⊥平面PAC， ∴BD⊥PC，

2

∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.而PC?平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD. 答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等) 9.如图，四棱锥PABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC1

＝AD，E，F分别为线段AD，PC的中点．求证： 2

(1)AP∥平面BEF； (2) BE⊥平面PAC.

证明：(1)设AC∩BE＝O，连接OF，EC，如图所示． 1

由于E为AD的中点，AB＝BC＝AD，AD∥BC，

2所以AE∥BC，AE＝AB＝BC， 因此四边形ABCE为菱形，

所以O为AC的中点．又F为PC的中点， 因此在△PAC中，可得AP∥OF. 又OF?平面BEF，AP?平面BEF. 所以AP∥平面BEF.

(2)由题意知ED∥BC，ED＝BC. 所以四边形BCDE为平行四边形， 因此BE∥CD.又AP⊥平面PCD， 所以AP⊥CD，因此AP⊥BE.

因为四边形ABCE为菱形，所以BE⊥AC. 又AP∩AC＝A，AP，AC?平面PAC， 所以BE⊥平面PAC.

10．(2018·唐山统考)已知四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，PD⊥底面ABCD，E为棱

PD的中点．

(1)证明：PB∥平面AEC；

(2)若PD＝AD＝2，PB⊥ AC，求点P到平面AEC的距离． 解析：(1)证明：如图，连接BD，交AC于点F，连接EF，

3

∵底面ABCD为矩形，∴F为BD中点， 又E为PD中点，∴EF∥PB， 又PB?平面AEC，EF?平面AEC， ∴PB∥平面AEC. (2)∵PD⊥平面ABCD，

AC?平面ABCD，∴PD⊥AC，

又PB⊥AC，PB∩PD＝P，∴AC⊥平面PBD， ∵BD?平面PBD，∴AC⊥BD， ∴四边形ABCD为正方形．

又E为PD的中点，∴P到平面AEC的距离等于D到平面AEC的距离，设D到平面AEC的距离为h，

1

由题意可知AE＝EC＝5，AC＝22，S△AEC＝×22×3＝6，由VD2166＝S△ADC·ED，解得h＝，∴点P到平面AEC的距离为. 333

B组 能力提升练

1．如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF与SG2的交点，现沿

AEC＝VEADC1

得S△AEC·h3

SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，

则在四面体GSEF中必有( )

A．SD⊥平面EFG C．EF⊥平面SEG

B．SE⊥GF D．SE⊥SF

232a，SD＝a，∵SG2≠DG2＋SD2，∴SD22

解析：对于A，设正方形的棱长为2a，则DG＝

与DG不垂直，∴SD不垂直于平面EFG，故A错误；对于B，∵在折叠的过程中，始终有

SG3⊥G3F，EG2⊥G2F，∴SG⊥GF，EG⊥GF，SG∩EG＝G，∴GF⊥平面SEG，∵SE?平面SEG，

∴SE⊥GF，故B正确；对于C，△EFG中，∵EG⊥GF，∴EF不与GE垂直，∴EF不垂直于

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