理科高考总复习第四讲（三角函数）

形状．

例3.如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB=AD，记∠CAD=?，∠ABC=?.

A （1）证明：sin??cos2??0； （2）若AC=3DC，求?．

α 分析：识别图中角之间的关系，从而建立等量关系. β （1）证明：?????C，?B C?2?B，?2???2??例4

D ，

?sin??cos2??0

（2）解：?AC=3DC，?sin??3sin???3cos2??23sin2??3.

???(0,?2)，?sin??3?2，???3.

点评：本题重点是从图中寻找到角之间的等量关系，从而建立三角函数关系，进而求出?的值.

【反馈演练】

1．在?ABC中，AB?3,A?450,C?750,则BC =_____________3?3 ． 2．?ABC的内角∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且c?2a，

则cosB?_____．

3．在?ABC中，若2a?b?c，sin2A?sinBsinC，则?ABC的形状是角形．

15____等边___三3 4．若?ABC的内角A满足sin2A?23，则sinA?cosA= ．

5．在?ABC中，已知AC?2，BC?3，cosA??45．

（Ⅰ）求sinB的值； （Ⅱ）求sin??2B????6??的值． 2解：（Ⅰ）在?ABC中，sinA?1?cos2A?1???4?3??5???5，由正弦定理，

BCsinA?ACACsinB．所以sinB?BCsinA?23?35?25． （Ⅱ）因为cosA??45，所以角A为钝角，从而角B为锐角，于是

C 34 21?2?cosB?1?sinB?1????，

5?5?22cos2B?2cos2B?1?2?(21217， )?1?525221421． sin2B?2sinBcosB?2???55253171127?17????421?． ????sin?2B???sin2Bcos?cos2Bsin?252252506?66?6．在?ABC中，已知内角A??，边BC?23．设内角B?x，周长为y． ?（1）求函数y?f(x)的解析式和定义域；（2）求y的最大值． 解：（1）?ABC的内角和A?B?C??，由A??2?，B?0，C?0得0?B?． ??

应用正弦定理，知AC?BC23sinB?sinx?4sinx，

?sinAsin?因为y?AB?BC?AC，

AB?BC?2??sinC?4sin??x?． sinA???

所以y?4sinx?4sin?2???2????x??23?0?x??， ?3??????1cosx?sinx??23 ??2?

（2）因为y?4?sinx????

?43si?nx??????????5????2?3?x???，

?????

所以，当x?????，即x?时，y取得最大值63． ???13，tanB?． 457．在?ABC中，tanA?（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若?ABC最大边的边长为17，求最小边的边长．

13?解：（Ⅰ）?C?π?(A?B)，?tanC??tan(A?B)??45??1．

131??453又?0?C?π，?C?π．

43（Ⅱ）?C??，?AB边最大，即AB?17．

4又?tanA?tanB，A，B??0，?，?角A最小，BC边为最小边．

??????sinA1?tanA??，??π?由?cosA4且A??0，?，

?2??sin2A?cos2A?1，?得sinA?ABBCsinA17??2． ．由得：BC?AB?sinCsinAsinC17所以，最小边BC?2．

第9课 解三角形的应用

【考点导读】

1.运用正余弦定理等知识与方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．

2.综合运用三角函数各种知识和方法解决有关问题，深化对三角公式和基础知识的理解，进一步提高三角变换的能力．

400 31．在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为

_________m．

【基础练习】

2．某人朝正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好

23x或的值为 km． 3km，那么3 _______________

3．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60?，行驶4h

302 后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15?，这时船与灯塔的距离为 km．

4．如图，我炮兵阵地位于A处，两观察所分别设于B，D，已知?ABD为边长等于a的正三角形，当目标出现于C时，测得?BDC?45，?CBD?75，求炮击目标的距离AC C 解：在?BCD中，由正弦定理得：

??aBC?

sin60?sin45?D

222∴BC?6a 3B

在?ABC中，由余弦定理得：AC?AB?BC?2AB?BC?cos?ABC

A 第4题

∴AC?5?23a 35?23a． 3答：线段AC的长为【范例解析】

例 .如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处，此时两船相距20海里，1处时，北 当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？

分析：读懂题意，正确构造三角形，结合正弦定理或余弦定理求解．

解法一：如图(2)，连结A1B2，由已知A2B2?102，

??120? A2

B2 B1 乙

105? A

1甲

例1（1）

A1A2?302?20?102，?A1A2?A2B2， 60???北 又∠A△A1A2B2是等边三角形， 1A2B2?180?120?60，?120? A

2?A1B2?A1A2?102，

由已知，A1B1?20，∠B1A1B2?105?60?45， 在△A1B2B1中，由余弦定理，

22B1B2?A1B12?A1B2?2A1B1?A1B2?cos45??202?(102)2?2?20?102????B2 105? B1 乙 例1（2）

A1

甲

2?200． 2?B1B2?102．因此，乙船的速度的大小为答：乙船每小时航行302海里． 解法二：如图（3），连结A2B1，

102?60?302（海里/小时）． 北 20120? A

2B2 105 B1 A1

甲

乙 例1（3）