理科高考总复习第四讲（三角函数）

1.函数y?sinx?3cosx在区间[0,]上的最小值为 1 ．

3 12.函数f(x)?cosx?cos2x(x?R)的最大值等于 4 ．

223.函数y?tan(??2?x)(??4?x??4(??,?1]?[1,??) ． 且x?0)的值域是___________________

1?cos2x?8sin2x4.当0?x?时，函数f(x)?的最小值为 4 ．

2sin2x?【范例解析】

例1.（1）已知sinx?siny?1，求siny?cos2x的最大值与最小值． 3（2）求函数y?sinx?cosx?sinx?cosx的最大值． 分析：可化为二次函数求最值问题．

12?sinx，?siny?[?1,1]，则sinx?[?,1]． 331111112?siny?cos2x?(sinx?)2?，当sinx?时，siny?cosx有最小值?；当

21221224sinx??时，siny?cos2x有最小值．

39解：（1）由已知得：siny?121t2?1（2）设sinx?cosx?t(?2?t?2)，则sinx?cosx?，则y?t?t?，当

2221t?2时，y有最大值为?2．

2点评：第（1）小题利用消元法，第（2）小题利用换元法最终都转化为二次函数求最值问题；但要注意变量的取值范围． 例2.求函数y?2?cosx(0?x??)的最小值．

sinx分析：利用函数的有界性求解．

s?解法一：原式可化为ysinx?cox2即2(?0x??，得1?y2sinx(???)，

sinx(???)21?y221?y2，

故，所以y的最小值为3． ?1，解得y?3或y??3（舍）解法二：y?2?cosx(0?x??)表示的是点A(0,2)与B(?sinx,cosx)连线的斜率，其

sinx中点B在左半圆a2?b2?1(a?0)上，由图像知，当AB与半圆相切时，y最小，此时

kAB?3，所以y的最小值为3．

点评：解法一利用三角函数的有界性求解；解法二从结构出发利用斜率公式，结合图像求解． 例3.已知函数f(x)?2sin2??π??ππ??x??3cos2x，x??，?． ?4??42?（I）求f(x)的最大值和最小值；

（II）若不等式f(x)?m?2在x??，?上恒成立，求实数m的取值范围．

42分析：观察角，单角二次型，降次整理为asinx?bcosx形式． 解：（Ⅰ）∵f(x)??1?cos??ππ??????π???2x???3cos2x?1?sin2x?3cos2x ?2??π???1?2sin?2x??．

3??又∵x??，?，∴≤2x?≤，即2≤1?2sin?2x??≤3，

6333?42????ππ?ππ2π?π?∴f(x)max?3，f(x)min?2．

（Ⅱ）∵f(x)?m?2?f(x)?2?m?f(x)?2，x??，?，

42?ππ???∴m?f(x)max?2且m?f(x)min?2，

∴1?m?4，即m的取值范围是(1，4)．

点评：第（Ⅱ）问属于恒成立问题，可以先去绝对值，利用参数分离转化为求最值问题．本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力．

【反馈演练】 1．函数y?2sin(?3?x)?cos(?6?x)(x?R)的最小值等于____－1_______．

2．当0?x??4时，函数f(x)?cos2xcosxsinx?sin2x的最小值是______4 _______．

333．函数y?sinx ? cosx?2的最大值为_______3，最小值为________. 34．函数y?cosx?tanx的值域为 . (?1,1) 5．已知函数f(x)?2sin?x(??0)在区间??????3,?4??上的最小值是?2，则?的最小值等

于_________．

6．已知函数f(x)?2cosx(sinx?cosx)?1，x?R． （Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；

（Ⅱ）求函数f(x)在区间??π3π??8，4??上的最小值和最大值．

解：（Ⅰ）f(x)?2cosx(sinx?cosx)?1?sin2x?cos2x?2sin??π??2x?4??．

因此，函数f(x)的最小正周期为π．

（Ⅱ）因为f(x)?2sin???2x?π?4??在区间?π3π???3π3π??8，8??上为增函数，在区间??8，4??上为减

函数，又f??π??8???0，f??3π??f??3π??4???2sin??3π?2?π?4?π?8??2，???2cos4??1，

故函数f(x)在区间π??π，3??84??上的最大值为2，最小值为?1．

第８课 解三角形

【考点导读】

1.掌握正弦定理，余弦定理，并能运用正弦定理，余弦定理解斜三角形；

2.解三角形的基本途径：根据所给条件灵活运用正弦定理或余弦定理，然后通过化边为角或化角为边，实施边和角互化． 【基础练习】

1．在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，则AC＝ 4 6 . ?2．在?ABC中，若sinA:sinB:sinC?5:7:8，则?B的大小是______________.

3

102 32 3．在△ABC中，若tanA?【范例解析】

1?，C?150，BC?1，则AB? 3 ．

C?2A，cosA?例1. 在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，已知a?c?20，

3． 4c的值；（2）求b的值． a分析：利用C?2A转化为边的关系．

csinCsin2A3??2cosA?． 解：（1）由?asinAsinA2（1）求

?a?c?20,?a?8,?222（2）由?c3得?．由余弦定理a?b?c?2bccosA

?.?c?12.?a2?得： b?18b?80?0，解得：b?8或b?10， 若b?8，则A?B，得A?2?4，即cosA?23?矛盾，故b?10． 24点评：在解三角形时，应注意多解的情况，往往要分类讨论．

例2.在三角形ABC中，已知(a2?b2)sin(A?B)?(a2?b2)sin(A?B)，试判断该三角形的形状．

解法一：(边化角)由已知得：a2[sin(A?B)?sin(A?B)]?b2[?sin(A?B)?sin(A?B)]， 化简得2acosAsinB?2bcosBsinA， 由

正

弦

定

理

得

：

22sin2AcosAsinB?sin2BcosBsinAB，即

sAinBsiA?n(As?i，B

又A,B?(0,?)，?sinA?sinB?0，?sin2A?sin2B．

?2A?2B或2A???2B，又2A,2B?(0,2?)，即该三角形为等腰三角形或直角三角形．

解法二：(角化边)同解法一得：2acosAsinB?2bcosBsinA，

222b2?c2?a22a?c?b?ba由正余弦定理得：ab，

2bc2ac222222222整理得：(a?b)(c?a?b)?0，即a?b或c?a?b，

22即该三角形为等腰三角形或直角三角形． 点评：判断三角形形状主要利用正弦或余弦定理进行边角互化，从而利用角或边判定三角形