高考数学一轮复习（基础知识+高频考点+解题训练）函数的奇偶性及周期性教学案

第四节

性

函数的奇偶性及周期

[知识能否忆起]

一、函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 定 义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝图象特点 关于y轴对称 f(x)，那么函数f(x)是偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－奇函数 f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 1

二、周期性 1．周期函数

对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有

f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

2．最小正周期

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

[小题能否全取]

1．(2012·广东高考)下列函数为偶函数的是( ) A．y＝sin x B．y＝x C．y＝e

x3

D．y＝ln x＋1

3

2

解析：选D 四个选项中的函数的定义域都是R.y＝sin x为奇函数．幂函数y＝x也为奇函数．指数函数y＝e为非奇非偶函数．令f(x)＝ln x＋1，得f(－x)＝ln ＝ln x＋1＝f(x)．所以y＝lnx＋1为偶函数．

2．已知f(x)＝ax＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b 的值是( ) 1A．－ 31

C. 2

2

2

2

2

x2

－x2

＋1

1B. 31D．－

2

解析：选B ∵f(x)＝ax＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数， 1

∴a－1＋2a＝0，∴a＝.又f(－x)＝f(x)，

31

∴b＝0，∴a＋b＝.

3

3．(教材习题改编)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x＋4)＝f(x)，则f(8)的值为( )

A．－1 C．1

B．0 D．2

解析：选B ∵f(x)为奇函数且f(x＋4)＝f(x)， ∴f(0)＝0，T＝4. ∴f(8)＝f(0)＝0.

4．若函数f(x)＝x－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.

解析：法一：∵f(－x)＝f(x)对于x∈R恒成立，∴|－x＋a|＝|x＋a|对于x∈R恒成立，两边平方整理得ax＝0，对于x∈R恒成立，故a＝0.

法二：由f(－1)＝f(1)，

2

2

得|a－1|＝|a＋1|，故a＝0. 答案：0

5．(2011·广东高考)设函数f(x)＝xcos x＋1.若f(a)＝11，则f(－a)＝________. 解析：观察可知，y＝xcos x为奇函数，且f(a)＝acos a＋1＝11，故acos a＝10.则f(－a)＝－acos a＋1＝－10＋1＝－9.

答案：－9

1.奇、偶函数的有关性质：

(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件； (2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反之亦然； (3)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0；

(4)利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调

性相同；利用偶函数的图象关于y轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反．

2．若函数满足f(x＋T)＝f(x)，由函数周期性的定义可知T是函数的一个周期；

应注意nT(n∈Z且n≠0)也是函数的周期．

3

3

3

3

3

3

函数奇偶性的判断

典题导入

??1，x∈Q，

[例1] (2012·福州质检)设Q为有理数集，函数f(x)＝?

??－1，x∈?RQ，

g(x)＝

e－1

，则函数h(x)＝f(x)·g(x)( ) xe＋1

A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数也是偶函数 D．既不是偶函数也不是奇函数

[自主解答] ∵当x∈Q时，－x∈Q，∴f(－x)＝f(x)＝1；当x∈?RQ时，－x∈?RQ，∴

xf(－x)＝f(x)＝－1.综上，对任意x∈R，都有f(－x)＝f(x)，故函数f(x)为偶函数．∵g(－

e－11－ee－1x)＝－x＝x＝－x＝－g(x)，∴函数g(x)为奇函数．∴h(－x)＝f(－x)·g(－x)

e＋11＋e1＋e＝f(x)·[－g(x)]＝－f(x)g(x)＝－h(x)，∴函数h(x)＝f(x)·g(x)是奇函数．∴h(1)＝e－1e－11－ef(1)·g(1)＝，h(－1)＝f(－1)·g(－1)＝1×－1＝，h(－1)≠h(1)，∴函数

e＋1e＋11＋e

－1

－xxxh(x)不是偶函数．

[答案] A

4