最新高中高考数学一轮复习4.1平面向量的概念及线性运算教学设计

所以MN＝AN－AM

21511＝(a＋b)－(a＋b)＝a－b. 36626

【点拨】向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表示，即平面向量基本定的应用，在运用向量解决问题时，经常需要进行这样的变形.

【变式训练2】O是平面α上一点，A、B、C是平面α上不共线的三点，平面1

α内的动点P满足OP＝OA＋λ(AB＋AC)，若λ＝时，则PA?(PB＋PC)

2的值为 .

【解析】由已知得OP－OA＝λ(AB＋AC)，

11

即AP＝λ(AB＋AC)，当λ＝时，得AP＝(AB＋AC)，

22所以2AP＝AB＋AC，即AP－AB＝AC－AP， 所以BP＝PC，

所以PB＋PC＝PB＋BP＝0，

所以PA? (PB＋PC)＝PA?0＝0，故填0. 题型三 向量共线问题

【例3】 设两个非零向量a与b不共线.

(1)若AB＝a＋b， BC＝2a＋8b， CD＝3(a－b)， 求证：A，B，D三点共线；

(2)试确定实k，使ka＋b和a＋kb共线.

【解析】(1)证明：因为AB＝a＋b， BC＝2a＋8b， CD＝3(a－b)， 所以BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5AB， 所以AB， BD共线.又因为它们有公共点B， 所以A，B，D三点共线.

(2)因为ka＋b和a＋kb共线， 所以存在实λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)， 所以(k－λ)a＝(λk－1)b.

因为a与b是不共线的两个非零向量，

所以k－λ＝λk－1＝0，所以k2－1＝0，所以k＝±1.

【点拨】(1)向量共线的充要条件中，要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系法的运用和方程思想. (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线. 【变式训练3】已知O是正三角形BAC内部一点，OA+2OB+3OC=0，则△OAC的面积与△OAB的面积之比是（ ） 3A. 2C.2

2

B. 31D. 3

【解析】如图，在三角形ABC中， OA＋2OB＋3OC＝0，整可得OA＋OC＋2(OB＋OC)＝0.令三角形ABC中AC边的中点为E，BC边的中点为F，则点O在点F1

与点E连线的处，即OE＝2OF.

3

设三角形ABC中AB边上的高为h，则S△OAC＝S△OAE＋S△OEC＝1

＝OE·h， 2

111

S△OAB＝AB?h＝AB·h，

224

2

由于AB＝2EF，OE＝EF，所以AB＝3OE，

3

1hh?OE? (＋)222

1OE?h21S△OAC4AB?h2所以＝＝.故选B.

S△OAB3

总结提高

1.向量共线也称向量平行，它与直线平行有区别，直线平行不包括共线(即重合)的情形，而向量平行则包括共线(即重合)的情形.

2.判断两非零向量是否平行，实际上就是找出一个实，使这个实能够和其中一个向量把另外一个向量表示出来.

3.当向量a与b共线同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|； 当向量a与b共线反向时，|a＋b|＝||a|－|b||； 当向量a与b不共线时，|a＋b|＜|a|＋|b|.

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