高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第6讲抛物线练习理北师大版

(3)设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N， 1

则|MN|＝(|AC|＋|BD|)＝

211

(|AF|＋|BF|)＝|AB|. 22

所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.

11.(2017·汉中模拟)已知抛物线y＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，

2

y1y2

B(x2，y2)，则的值一定等于( )

x1x2

A.－4

B.4

C.p

2

D.－p

2

解析 ①若焦点弦AB⊥x轴，则x1＝x2＝，则x1x2＝；

24②若焦点弦AB不垂直于x轴，可设AB：y＝k(x－)，

2联立y＝2px得kx－(kp＋2p)x＋

2

22

2

pp2

pp2k2

4

＝0，

则x1x2＝.又y1＝2px1，y2＝2px2，

4

∴y1y2＝4px1x2＝p，又∵y1y2＜0，∴y1y2＝－p. 故

22

2

4

2

p2

22

y1y2

＝－4. x1x2

答案 A

12.(2016·四川卷)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y＝2px(p>0)上任意一点，

2

M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为( )

A.3 3

2B. 3

C.2 2

D.1

解析 如图，

?p??y0?由题可知F?，0?，设P点坐标为?，y0?(y0＞0)， ?2??2p?

1→2→?y0py0?→→→→1→→1→→

则OM＝OF＋FM＝OF＋FP＝OF＋(OP－OF)＝OP＋OF＝?＋，?，

3333?6p33?

2

2

y0

kOM＝

3

20

ypy0

＋＋6p3py0

＝

2

2222

≤＝，当且仅当y0＝2p等号成立.故选C. 2p222

答案 C

13.(2016·湖北七校联考)已知抛物线方程为y＝－4x，直线l的方程为2x＋y－4＝0，在抛物线上有一动点A，点A到y轴的距离为m，到直线l的距离为n，则m＋n的最小值为________.

解析 如图，过A作AH⊥l，AN垂直于抛物线的准线，则|AH|＋|AN|＝m＋n＋1，连接AF，则|AF|＋|AH|＝m＋n＋1，由平面几何知识，知当A，F，H三点共线时，|AF|＋|AH|＝m＋

2

n＋1取得最小值，最小值为F到直线l的距离，即

1.

65

＝

6565

，即m＋n的最小值为－55

答案

65

－1 5

2

2

14.(2017·南昌模拟)已知抛物线C1：y＝4x和C2：x＝2py(p＞0)的焦点分别为F1，F2，点P(－1，－1)，且F1F2⊥OP(O为坐标原点). (1)求抛物线C2的方程；

(2)过点O的直线交C1的下半部分于点M，交C2的左半部分于点N，求△PMN面积的最小值. 解 (1)由题意知F1(1，0)，F2?0，?，

?2?

?

p?

p?→?

∴F1F2＝?－1，?，

2??

p?p→→?

∵F1F2⊥OP，∴F1F2·OP＝?－1，?·(－1，－1)＝1－＝0，

2?2?

∴p＝2，∴抛物线C2的方程为x＝4y. (2)设过点O的直线为y＝kx(k＜0)，

??y＝kx，?44?联立?2得M?2，?，

?kk???y＝4x2

联立?

??y＝kx.??x＝4y2

得N(4k，4k)，

2

??2?42?4

从而|MN|＝1＋k?2－4k?＝1＋k?2－4k?，

?k?

?k?

又点P到直线MN的距离d＝

|k－1|1＋k2，

1|k－1|?42－4k? 2

进而S△PMN＝··1＋k·?k?2

2??1＋k（1－k）（1－k）2（1－k）（1＋k＋k）

＝2·＝ 22

3

2

2

kk?1??1?＝2?k＋－2??k＋＋1?， ?

k??

k?

1

令t＝k＋(t≤－2)，

k则有S△PMN＝2(t－2)(t＋1)，

当t＝－2时，此时k＝－1，S△PMN取得最小值.

即当过点O的直线为y＝－x时，△PMN面积的最小值为8.