新课程人教版高中数学选修2-2课后习题解答

因此，当x??2时，f(x)有极大值，并且极大值为22；

当x?2时，f(x)有极小值，并且极小值为?10.

（4）因为f(x)?48x?x3，所以f?(x)?48?3x2. 令f?(x)?48?3x2?0，得x??4. 下面分两种情况讨论：

①当f?(x)?0，即x??2或x?2时；②当f?(x)?0，即?2?x?2时. 当x变化时，f?(x)，f(x)变化情况如下表：

x (??,?4) － 单调递减 ?4 0 (?4,4) ＋ 单调递增 4 0 128 (4,??) － 单调递减 f?(x) f(x) ?128 因此，当x??4时，f(x)有极小值，并且极小值为?128；

当x?4时，f(x)有极大值，并且极大值为128.

6、（1）在[?1,1]上，当x??147时，函数f(x)?6x2?x?2有极小值，并且极小值为. 1224 由于f(?1)?7，f(1)?9，

所以，函数f(x)?6x2?x?2在[?1,1]上的最大值和最小值分别为9，

47. 24 （2）在[?3,3]上，当x??2时，函数f(x)?x3?12x有极大值，并且极大值为16； 当x?2时，函数f(x)?x3?12x有极小值，并且极小值为?16. 由于f(?3)?9，f(3)??9，

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所以，函数f(x)?x3?12x在[?3,3]上的最大值和最小值分别为16，?16.

11 （3）在[?,1]上，函数f(x)?6?12x?x3在[?,1]上无极值.

331269 由于f(?)?，f(1)??5，

3271269 所以，函数f(x)?6?12x?x3在[?,1]上的最大值和最小值分别为，?5.

327 （4）当x?4时，f(x)有极大值，并且极大值为128.. 由于f(?3)??117，f(5)?115，

所以，函数f(x)?48x?x3在[?3,5]上的最大值和最小值分别为128，?117. 习题3.3 B组（P32）

1、（1）证明：设f(x)?sinx?x，x?(0,?). 因为f?(x)?cosx?1?0，x?(0,?) 所以f(x)?sinx?x在(0,?)内单调递减

因此f(x)?sinx?x?f(0)?0，x?(0,?)，即sinx?x，x?(0,?). 图略 （2）证明：设f(x)?x?x2，x?(0,1). 因为f?(x)?1?2x，x?(0,1)

1 所以，当x?(0,)时，f?(x)?1?2x?0，f(x)单调递增，

2f(x)?x?x2?f(0)?0；

1 当x?(,1)时，f?(x)?1?2x?0，f(x)单调递减，

2f(x)?x?x2?f(1)?0；

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11 又f()??0. 因此，x?x2?0，x?(0,1). 图略

24（3）证明：设f(x)?ex?1?x，x?0. 因为f?(x)?ex?1，x?0

所以，当x?0时，f?(x)?ex?1?0，f(x)单调递增，

f(x)?ex?1?x?f(0)?0；

当x?0时，f?(x)?ex?1?0，f(x)单调递减，

f(x)?ex?1?x?f(0)?0；

综上，ex?1?x，x?0. 图略 （4）证明：设f(x)?lnx?x，x?0. 因为f?(x)?1?1，x?0 x1?1?0，f(x)单调递增， x 所以，当0?x?1时，f?(x)?f(x)?lnx?x?f(1)??1?0；

当x?1时，f?(x)?1?1?0，f(x)单调递减， xf(x)?lnx?x?f(1)??1?0；

当x?1时，显然ln1?1. 因此，lnx?x. 由（3）可知，ex?x?1?x，x?0.

. 综上，lnx?x?ex，x?0 图略

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2、（1）函数f(x)?ax3?bx2?cx?d的图象大致是个“双峰”图象，类似“

”或“”的形状.

若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间.

（2）因为f(x)?ax3?bx2?cx?d，所以f?(x)?3ax2?2bx?c. 下面分类讨论：

当a?0时，分a?0和a?0两种情形： ①当a?0，且b2?3ac?0时，

设方程f?(x)?3ax2?2bx?c?0的两根分别为x1,x2，且x1?x2，

当f?(x)?3ax2?2bx?c?0，即x?x1或x?x2时，函数f(x)?ax3?bx2?cx?d单调递增； 当f?(x)?3ax2?2bx?c?0，即x1?x?x2时，函数f(x)?ax3?bx2?cx?d单调递减. 当a?0，且b2?3ac?0时，

此时f?(x)?3ax2?2bx?c?0，函数f(x)?ax3?bx2?cx?d单调递增. ②当a?0，且b2?3ac?0时，

设方程f?(x)?3ax2?2bx?c?0的两根分别为x1,x2，且x1?x2，

当f?(x)?3ax2?2bx?c?0，即x1?x?x2时，函数f(x)?ax3?bx2?cx?d单调递增； 当f?(x)?3ax2?2bx?c?0，即x?x1或x?x2时，函数f(x)?ax3?bx2?cx?d单调递减. 当a?0，且b2?3ac?0时，

此时f?(x)?3ax2?2bx?c?0，函数f(x)?ax3?bx2?cx?d单调递减 1．4生活中的优化问题举例

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