第十讲 小升初专项训练 - --数论篇（一）

第十讲 小升初专项训练 数论篇（一）

名校真题 测试卷10 （数论篇一） 希望考入重点中学？ 奥数网是我们成就梦想的地方！

1 （05年人大附中考题）

有____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。 【解】：6

2 （05年101中学考题）

如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数 是＿＿。

【解】：设原来数为ab，这样后来的数为a0b,把数字展开我们可得：100a+b=9×(10a+b),所以我们可以知道5a=4b,所以a=4,b=5,所以原来的两位数为45。

3 （05年首师附中考题）

12120221215052121211313131321212121++?=＿＿。

121【解】：周期性数字，每个数约分后为

4 （04年人大附中考题）

+

221+

521+

1321=1

甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。

【解】：题中要求丙与135的乘积为甲的平方数，而且是个偶数（乙+乙），这样我们分解135=5×3×3×3，所以丙最小应该是2×2×5×3，所以甲最小是：2×3×3×5=90。

5 (02年人大附中考题)

下列数不是八进制数的是( )

A、125 B、126 C、127 D、128

【解】：八进制数是由除以8的余数得来的，不可能出现8，所以答案是D。

基础班

1．（★）一个自然数和60相乘得到的积是3次方数，这个最小的自然数是多少？ 解：60=2×2×3×5，所以最小自然数是2×3×3×5×5=450．

2．（★★）在1～100这100个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？ 解：1+2+??+100=5050

9+18+27+??+99=9×(1+2+??+11)=495

随意1-100中所有不能被9整除的数的和是5050-495=4555

3．（★★）某班学生不超过60人，在一次数学测验中，分数不低于90分的人数占数占

17，得80～89分的人

12，得70～79分得人数占

13，那么得70分以下的有________人。

解：有

17、

12、

13，说明总人数一定为7的倍数、2的倍数、3的倍数，故为[7、2、3]＝42的倍数；

又由于人数不超过60人，故这班的人数只能为42人。 从而70分以下的有：42×?1???17?12?1??＝1人。 3?

4．（★★）有甲、乙、丙三个网站，甲网站每3天更新一次，乙网站每五5天更新一次，丙网站每7天更新一次。2004年元旦三个网站同时更新，下一次同时更新是在____月____日？

解：3、5、7最小公倍数是105，所以下次要经过105天，所以下次再更新时间应该是4月14号。

5．（★★）自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有_______个。

解：枚举法：23，37，53，73，，有4个

6. （★★★）三个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而其中任意两个数的乘积却能被第三个数整除，那么这样的三个自然数的和的最小值是多少？

解：这三个自然数最小是6，10，15（分别是2×3,2×5,3×5） 和的最小值为31。

7、（★★★）五个连续偶数之和是完全平方数，中间三个偶数之和是立方数（即一个整数的三次方），这样一组数中的最大数的最小值是多少？ 解：设中间一个数为2x

那么5个数的和为10x=m^2 中间3个数的和为6x=n^3 设x=2^p × 3^q × 5^r

再根据一个数是完全平方数等价于它的各个质因子的幂都是偶数，一个数是立方数等价于他的各个质因子的幂都是3的倍数可以求得p=5,q=2,r=3

X=36000

因此所求为2x+4=72004

8、一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个是多少？

解：A2-B2=（A+B）（A-B）=37=37×1，考虑同奇偶性，可知A=19，B=18，这样这个数为461。

提高班

1．（★）一个自然数和60相乘得到的积是3次方数，这个最小的自然数是多少？ 解：60=2×2×3×5，所以最小自然数是2×3×3×5×5=450．

2．（★★）在1～100这100个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？ 解：1+2+??+100=5050

9+18+27+??+99=9×(1+2+??+11)=495

随意1-100中所有不能被9整除的数的和是5050-495=4555

3．（★★）某班学生不超过60人，在一次数学测验中，分数不低于90分的人数占数占 解：有

171217，得80～89分的人

，得70～79分得人数占

13，那么得70分以下的有________人。

、

12、

13，说明总人数一定为7的倍数、2的倍数、3的倍数，故为[7、2、3]＝42的倍数；

又由于人数不超过60人，故这班的人数只能为42人。 从而70分以下的有：42×?1???17?12?1??＝1人。 3?4．（★★）有甲、乙、丙三个网站，甲网站每3天更新一次，乙网站每五5天更新一次，丙网站每7天更新一次。2004年元旦三个网站同时更新，下一次同时更新是在____月____日？

解：3、5、7最小公倍数是105，所以下次要经过105天，所以下次再更新时间应该是4月14号。 5．（★★）自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有_______个。

解：枚举法：23，37，53，73，，有4个

6. （★★★）三个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而其中任意两个数的乘积却能被第三个数整除，那么这样的三个自然数的和的最小值是多少？ 解：这三个自然数最小是6，10，15（分别是2×3,2×5,3×5） 和的最小值为31。

7、（★★★）五个连续偶数之和是完全平方数，中间三个偶数之和是立方数（即一个整数的三次方），这样一组数中的最大数的最小值是多少？ 解：设中间一个数为2x 那么5个数的和为10x=m^2

中间3个数的和为6x=n^3 设x=2^p × 3^q × 5^r

再根据一个数是完全平方数等价于它的各个质因子的幂都是偶数，一个数是立方数等价于他的各个质因子的幂都是3的倍数可以求得p=5,q=2,r=3 X=36000

因此所求为2x+4=72004

8、一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个是多少？

解：A2-B2=（A+B）（A-B）=37=37×1，考虑同奇偶性，可知A=19，B=18，这样这个数为461。

精英班

1．（★★）在1～100这100个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？ 解：1+2+??+100=5050

9+18+27+??+99=9×(1+2+??+11)=495

随意1-100中所有不能被9整除的数的和是5050-495=4555

2．（★★）某班学生不超过60人，在一次数学测验中，分数不低于90分的人数占数占

1217，得80～89分的人

，得70～79分得人数占

1713，那么得70分以下的有________人。

解：有、

12、

13，说明总人数一定为7的倍数、2的倍数、3的倍数，故为[7、2、3]＝42的倍数；

又由于人数不超过60人，故这班的人数只能为42人。 从而70分以下的有：42×?1???17?12?1??＝1人。 3?3．（★★）自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有_______个。

解：枚举法：23，37，53，73，，有4个

4. （★★★）三个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而其中任意两个数的乘积却能被第三个数整除，那么这样的三个自然数的和的最小值是多少？ 解：这三个自然数最小是6，10，15（分别是2×3,2×5,3×5） 和的最小值为31。

5、（★★★）五个连续偶数之和是完全平方数，中间三个偶数之和是立方数（即一个整数的三次方），这样一组数中的最大数的最小值是多少？ 解：设中间一个数为2x 那么5个数的和为10x=m^2

中间3个数的和为6x=n^3 设x=2^p × 3^q × 5^r

再根据一个数是完全平方数等价于它的各个质因子的幂都是偶数，一个数是立方数等价于他的各个质因子的幂都是3的倍数可以求得p=5,q=2,r=3 X=36000

因此所求为2x+4=72004 6、（★★）一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个是多少？

解：A2-B2=（A+B）（A-B）=37=37×1，考虑同奇偶性，可知A=19，B=18，这样这个数为461。

7、（★★★）从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行．从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右1至1l报数，报到11的同学留下，其余同学出列．那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是______． 【来源】北京市第七届“迎春杯”决赛第二题第4题

【解】第一次报数后留下的同学，他们最初编号都是11的倍数；第二次报数后留下的同学，他们最初编号都是112=121的倍数；第三次报数后留下的同学，他们最初编号都是113=1331的倍数．因此，第三次报数后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是1331．

8、（★★★）有1997个奇数，它们的和等于它们的乘积．其中只有三个数不是l，而是三个不同的质数．那么，这样的三个质数可以是 、 、 ． 【解】设a、b、c为三个不同的质数，根据题意

1994+a+b+C=a·b·c．

取a=3，b=5，得1994+3+5+c=15c，解出c=143不是质数； 取a=3，b=7，得1994+3+7+c=21c，解出c=501不是整数； 5 取a=5，b=7，得1994+5+7+c=35C，解出c=59． 故5、7、59是满足题意的三个质数．