2019-2020数学人教A版选修2-2讲义：第一章导数及其应用1.2 1.2.2(二)

1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)

1．复合函数的概念

一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成01

□

x的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作02y＝f[g(x)]． 在复合函数中，内层函数u＝g(x)的值域必须是外层函数y＝f(u)的定义域的子集．

2．复合函数的求导法则

复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即yx′＝03yu′·ux′，并且在利用复数的求导法则求导数后，最后结果要把中间变量换成自变量的函数．复合函数，可以是一个中间变量，也可以是两个或多个中间变量，应该按照复合次序从外向内逐层求导．

□□

使用复合函数求导法则的注意事项

(1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，选择适当的中间变量．

(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量的导数，如(sin2x)′＝2cos2x，不能得出(sin2x)′＝cos2x.

(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并π??

把中间变量转换成自变量的函数，如求y＝sin?2x＋3?的导数，设y＝sinu，u＝2x

??π?π?

＋3，则yx′＝yu′·ux′＝cosu·2＝2cos?2x＋3?.

??

(4)熟练掌握复合函数的求导后，中间步骤可省略不写．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f′(x)＝2x，则f(x)＝x2.( )

(2)函数f(x)＝xex的导数是f′(x)＝ex(x＋1)．( ) (3)函数f(x)＝sin(－x)的导数为f′(x)＝cosx.( )

答案 (1)× (2)√ (3)× 2．做一做

(1)若f(x)＝2x＋3，则f′(x)＝________. (2)函数f(x)＝2sinx－cosx，则f′(x)＝________. (3)函数f(x)＝－

2

，则f′(x)＝________. x＋1

2

?x＋1?2

探究1 简单复合函数求导问题 例1 求下列函数的导数． (1)y＝(3x－2)2；(2)y＝ln (6x＋4)； (3)y＝sin(2x＋1)；(4)y＝3x＋5.

[解] (1)∵y＝(3x－2)2由函数y＝u2和u＝3x－2复合而成，∴yx′＝yu′·ux′＝(u2)′·(3x－2)′＝6u＝18x－12.

(2)∵y＝ln (6x＋4)由函数y＝ln u和u＝6x＋4复合而成，∴yx′＝yu′·ux′＝663(ln u)′·(6x＋4)′＝u＝＝.

6x＋43x＋2

(3)函数y＝sin(2x＋1)可以看作函数y＝sinu和u＝2x＋1的复合函数，根据复合函数求导法则有yx′＝yu′·ux′＝(sinu)′·(2x＋1)′＝2cosu＝2cos(2x＋1)．

(4)函数y＝3x＋5可以看作函数y＝u和u＝3x＋5的复合函数，根据复合函数求导法则有yx′＝yu′·ux′＝(u)′·(3x＋5)′＝

拓展提升

复合函数求导的步骤

32u

＝

3

.

23x＋5

答案 (1)2 (2)2cosx＋sinx (3)

【跟踪训练1】 求下列函数的导数． (1)y＝1－2x2；(2)y＝esinx；

π??

(3)y＝sin?2x＋3?；(4)y＝5log2(2x＋1)．

??

1

2

解 (1)设y＝u ，u＝1－2x2，

1 ?－ 1?2

2?·1则y′＝(u )′(1－2x2)′＝?(－4x) ?u ?

?2?

1

＝2(1－2x2)

1－ 2

(－4x)＝

－2x

. 2

1－2x

(2)设y＝eu，u＝sinx，

则yx′＝yu′·ux′＝eu·cosx＝esinxcosx. π(3)设y＝sinu，u＝2x＋3，

π??

则yx′＝yu′·ux′＝cosu·2＝2cos?2x＋3?.

??(4)设y＝5log2u，u＝2x＋1，

10

则y′＝5(log2u)u′(2x＋1)x′＝uln 2＝例2 求下列函数的导数． (1)y＝x(x＋1)(x＋2)(x＞0)； π??

(2)y＝sin2?2x＋3?.

??

[解] (1)y′＝[x(x＋1)(x＋2)]′＝x′(x＋1)(x＋2)＋x(x＋1)′(x＋2)＋x(x＋1)(x＋2)′＝(x＋1)(x＋2)＋x(x＋2)＋x(x＋1)＝3x2＋6x＋2.

π

(2)设y＝u2，u＝sinν，ν＝2x＋3， 则yx′＝yu′·uν′·νx′＝2u·cosν·2 2π??

＝4sinνcosν＝2sin2ν＝2sin?4x＋3?.

??[解法探究] 此题有没有其他解法呢？

[解] (1)因为y＝x(x＋1)(x＋2)＝(x2＋x)(x＋2)＝x3＋3x2＋2x， 所以y′＝(x3＋3x2＋2x)′＝3x2＋6x＋2.

π??π????

(2)y′＝?sin2?2x＋3??′＝2sin?2x＋3?·[ sin

??????π?π??π?2π????

2x＋2x＋2x＋4x＋???????2sincos. 3?·3?·3?′＝2sin?3?????

(

10

. ?2x＋1?ln 2

探究2 复合函数与导数的运算法则的综合应用

2x＋

π3

) ]

′＝

拓展提升

求复合函数的导数需处理好的几个环节

(1)求导之前应先将函数化简，然后再求导，以减少运算量； (2)中间变量的选择应是基本函数结构； (3)关键是正确分析函数的复合层次；

(4)一般是从最外围开始，由外及里，一层层地求导； (5)善于把一部分表达式作为一个整体； (6)最后要把中间变量换成自变量的函数．

【跟踪训练2】 求下列函数的导数． π??π??

(1)y＝x1＋x2；(2)y＝xcos?2x＋2?sin?2x＋2?.

????解 (1)y′＝(x1＋x2)′＝x′1＋x2＋x(1＋x2)′ ?1＋2x2?1＋x2x2

＝1＋x＋＝.

1＋x21＋x2

2

π??π??

(2)∵y＝xcos?2x＋2?sin?2x＋2?

????1

＝x(－sin2x)cos2x＝－2xsin4x，

1x?1?

∴y′＝?－2xsin4x?′＝－2sin4x－2cos4x·4

??1

＝－2sin4x－2xcos4x. 探究3 导数的综合应用

b

例3 设函数f(x)＝ax－x，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.

(1)求f(x)的解析式；

(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．

7

[解] (1)由7x－4y－12＝0得y＝4x－3. 1b1

当x＝2时，y＝2，∴f(2)＝2a－2＝2.① bb7

又f′(x)＝a＋x2，∴f′(2)＝a＋4＝4.②