概率统计 - - B卷(20092)答案

上海海洋大学试卷

学年学期 课程名称 课程号 题号 分数 阅卷人 一 2009~ 2010学年第 二 学期 概率论与数理统计B答案 考核方式 A/B卷 3 六 七 学时 八 九 （ B ）卷 48 十 总分 闭卷 1106403 二 三 四 学分 五 姓名： 学号： 专业班名： 一、单项选择题（每题3分，总计１5分）

1．以A,B,C分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。则A+B+C表示（ D ）。 （A）至多订阅一种报 （B）三种报纸都订阅

（C）三种报纸不全订阅 （D）至少订阅一种报

2．若随机事件A和B都不发生的概率为p，则下列结论中正确的是（ C ）。 （A）A和B只有一个发生的概率为1-p （B）A和B都发生的概率为1-p （C）A和B至少有一个发生的概率为1-p （D）A发生B不发生的概率为1-p 3．设A、B为相互对立的随机事件，且P(A)>0，P(B)>0。则错误的是（ C ）。 （A）P(B|A)?0 （B）P(A|B)?0 （C）P(AB)?0 （D）P(A?B)?1 4．设P(A)?0.5，P(B)?0.4，P(A?B)?0.6，则P(A|B)= （ D ）。 （A）0.2 （B）0.45 （C）0.6 （D）0.75 5．若随机变量X服从[1,5]上的均匀分布，则E(X)?（ B ）。 （A）0 （B）3 （C）1 （D）4/3

二、填空题（每题3分，总计18分）

1．A、B、C代表三事件，则“A、B、C至少有二个发生”可表示为 AB+AC+BC ； 2．设X~N?3,6?，则E(X)= 3 ，D(X)= 6 ；

3． 事件A、B相互独立，且P(A)=0.2，P(b)=0.5，则P(A+B)= 0.6 ； 4．设X为一随机变量，E(X)=1，D(X)=1。则P?X?1?4??116；

5．设X为一随机变量，E(X)=1，令Y=2X+3，则E（Y）= 5 ； 6．设X~N??,?2?，当?未知时，?2的置信度为1??的置信区间为：

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((n?1)S222??(n?1)?,(n?1)S21?2?2(n?1))。

三、（6分）已知P(A)?P(B)?P(C)?1，P(AC)?P(BC)?1，P(AB)?0，求事

416件A,B,C全不发生的概率。 解：?P(AB)?0,?P(ABC)?0;-------------------------------------------------------1分

又?P(ABC)?P(A?B?C)?1?P(A?B?C)---------------------------------------------2分 而P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)

??5814?14?14?116?116?0?0

------------------------------------------------------------------------------ 2分

58?38所以P{事件A,B,C全不发生}=P(ABC)?1?----------------------------------------1分

四、（10分）两个车间生产同一种电子元件，第一、第二车间的废品率分别为0.04和0.06，

已知第一车间的产量占总产量的2/3。求： （1）任取一元件是合格品的概率；

（2）任取一元件是废品时，此元件是第一车间生产的概率。

解：设 A={任取一元件是合格品}，B={任取一元件是第一车间生产的}，则

B={任取一元件是第二车间生产的}，A={任取一元件是废品}。

BA={任取一元件是废品时，此元件是第一车间生产的}---------------------------------1分

由题意可知：

P(AB)?0.04,P(AB)?0.06,P(AB)?0.96,P(AB)?0.94,

P(B)?23,P(B)?13---------------------------------------------------------------------------1分

由全概率公式得：

P(A)?P(AB)P(B)?P(AB)P(B)?0.96?23?0.94?13?0.953---------------- 4分

P(A)?1?P(A)?0.047-------------------------------------------------------------------------1分

由贝叶斯公式得：

0.04??0.04723?0.567-----------------------------------------------3分

P(BA)?P(AB)P(B)P(A) 第 2 页 共 5页

?ax(1?x), 当0?x?1；五、（25分）设随机变量X的概率密度为f(x)??，

0， 其它. ?试求：（1）常数a；（2）（3）E(X)，（4） PX?E(X)?2D(X。X的分布函数；D(X)；解：（1）?1????????f(x)dx??10ax(1?x)dx?a6

?a?6-------------------------------------------------------------------------------2分 ?6x(1?x), 当0?x?1；f(x)??---------------------------------------1分

其它. ?0，0,???xF(x)???6t(1?t)dt,0?1,??????（2）

?0,??230?x?1;??3x?2x,?1,?x?1.1x?0;x?0;0?x?1;-------------6分 x?1.（3）E(X)=?2xf(x)dx?2?0x?6x(1?x)dx?0.5-----------------------------------5分

22D(X)=E(X)-(E(X))?E(X)-0.5???????1xf(x)dx?0.25

22?0x?6x(1?x)?0.25?0.05---------5分

0.05

（4）PX?E(X)?2D(X???P?X?0.5?2??P{0.5?20.05?X?0.5?20.05}

?F(0.5?20.05)?F(0.5?20.05)?3[(0.5?20.05)?(0.5?20.05)] ?2[(0.5?20.05)?(0.5?20.05)]?0.984--------------------------------------6分

3322??x??1,六．（12分）已知总体X的密度函数为f(x)???0,0?x?1,??0其它 ，

X1,X2,?,Xn是来自总体X的样本。求?的矩估计量和最大似然估计量。

解：（1）?E(X)=?????xf(x)dx??10x?x??1dx??10?xdx?????1------------3分

以X替换E(X)得：X????1-----------------------------------------------------------1分

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解之得：??X1?X--------------------------------------------------------------------------1分

??所以?的矩估计量为?X1?X-----------------------------------------------------------1分

（2）最大似然函数为：

?nn??10?xi?1,i?1,2,...n.??(?xi)i?1L(?)=?---------------------------------------2分 ?其它?0,对数似然函数为：

nlnL(?)=nln?+(??1)(?lnxi),i?10?xi?1,i?1,2,...n--------------------------1分

令：

dlnL(?)d?=nn?+(?lnxi)?0--------------------------------------------------------1分

i?1解之得：?=?nn----------------------------------------------------------------------1分

i?lnxi?1?=?所以?最大似然估计量为?nn-----------------------------------------------1分

i?lnXi?1七．（14分）食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐标准重量为500克，每隔一定时间需要

检验机器的工作情况。现抽10罐，测得其重量(单位: 克)：

495, 510, 505, 498, 503, 492, 502, 512, 497, 506

假设重量X服从正态分布N(?,?2)， 试问机器工作是否正常(?（已知：t0.01(9)?2.821,解：假设H0:??500g,选择枢轴变量：T?

X??S10?0.02)？

t0.01(10)?2.764。）

H1:??500g-------------------------------------------2分

~t(9) ----------------------------------------------------3分

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计算可得：x?502g,若H0:??500g为真， 则枢轴变量的样本值：Ts?6.498g，

502?5006.49810??0.973----------------------------------------------3分

因为显著性水平??0.02所以拒绝域为： W={T?t(9)}={T?2.821}-------------------------------------------------------------3分

0.01而T?0.973?2.821，--------------------------------------------------------------------------1分 所以姑且接受原假设H0为真。也即在显著性水平??0.02下，姑且认为机器工作正常，每罐标准重量仍为500克。-----------------------------------------------------------------------------------2分。

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