数值分析课后习题和解答

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法求具有4位有效数字的近似根 解：（1）取区间在

且

，在

中

且

，

，则L<1，

满足收敛定理条件，故迭代收敛。 （2）

，在

（3）

迭代法发散。

在迭代（1）及（2）中，因为（2）的迭代因子L较小，故它比（1）收敛快。用（2）迭代，取

，则

，在中有

，在

中

，且

，故迭代收敛。 附近

，故

3. 设方程 (1) 证明对

的迭代法 ,均有

,其中为方程的根.

,

(2) 取=4,求此迭代法的近似根，使误差不超过并列出各次迭代值.

(3) 此迭代法收敛阶是多少?证明你的结论 解：（1）迭代函数

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，对有

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，

（2）取

，则有各次迭代值

取（3）

，其误差不超过

故此迭代为线性收敛 4. 给定函数证明对方程解：由于

，设对一切x,

存在，而且

.

均收敛于

的任意常数,迭代法的根

，

为单调增函数，故方程

的根，，由递

是唯一的（假定方程有根）。迭代函数

。令

推有

，即

，则

5. 用Steffensen方法计算第2题中(2)、(3)的近似根，精确到

,令

令

,得

,

,则有

解:在(2)中

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,与第2题中(2)的结果一致,可取

满足精度要求. 对(3)有

,原迭代不收敛.现令

令

,则

6. 用Newton法求下列方程的根，计算准确到4位有效数字. (1) (2)解：（1）Newton迭代法

取

，则

，取

在=2附近的根.

在=1附近的根

（2）令

，则

，取

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7. 应用Newton法于方程式，并讨论其收敛性. 解：方程

的根为

，用Newton迭代法

此

公

式

迭

代

函

数

，

则

,求立方根

的迭代公

，故迭代法2阶收敛。

还可证明迭代法整体收敛性。设

一般的，当

时有

这是因为从而

，即

，表明序列

当

时成立。

，

，对

单调递减。故对

迭代序列收敛于

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