2019 - 2020学年高中数学第四章指数函数与对数函数4.4.1对数函数及其图象学案新人教A版必修1

第1课时 对数函数及其图象

1．理解对数函数的概念．

2．掌握对数函数的图象和简单性质． 3．了解对数函数在生产实际中的简单应用．

1．对数函数的概念

函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．

温馨提示：(1)对数函数y＝logax是由指数函数y＝a反解后将x、y互换得到的． (2)无论是指数函数还是对数函数，都有其底数a>0且a≠1. 2．对数函数的图象及性质

x

温馨提示：底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0

1

3．当底数不同时对数函数图象的变化规律

作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得b>a>1>d>c>0.

1

1．作出函数y＝log2x和y＝logx的图象如下：

2

(1)函数y＝log2x的定义域、值域、函数值的情况及单调性如何？

(2)函数y＝的定义域、值域、函数值的情况及单调性如何？

(3)若将函数y＝log2x与y＝的图象画在同一坐标系中，其图象有什么关系？

[答案] (1)定义域为(0，＋∞)，值域为R，在(0，＋∞)上是增函数 (2)定义域为(0，＋∞)，值域为R，在(0，＋∞)上是减函数 (3)关于x轴对称

2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对数函数的定义域为R.( )

(2)y＝log2x与logx3都不是对数函数．( ) (3)对数函数的图象一定在y轴的右侧．( )

(4)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)，在定义域上是增函数．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×

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2

题型一对数函数的概念

【典例1】 指出下列函数哪些是对数函数？ (1)y＝3log2x；(2)y＝log6x； (3)y＝logx3；(4)y＝log2x＋1.

[思路导引] 紧扣对数函数的定义判断．

[解] (1)log2x的系数是3，不是1，不是对数函数． (2)符合对数函数的结构形式，是对数函数． (3)自变量在底数位置上，不是对数函数． (4)对数式log2x后又加1，不是对数函数．

依据3个形式特点判断对数函数

判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a>0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：

(1)系数为1.

(2)底数为大于0且不等于1的常数． (3)对数的真数仅有自变量x.

[针对训练]

1．若对数函数y＝f(x)满足f(4)＝2，则该对数函数的解析式为( ) A．y＝log2x

C．y＝log2x或y＝2log4x

B．y＝2log4x D．不确定

[解析] 设对数函数的解析式为y＝logax(a>0，且a≠1)，由题意可知loga4＝2， ∴a＝4，∴a＝2.

∴该对数函数的解析式为y＝log2x. [答案] A

题型二对数型函数的定义域 【典例2】 求下列函数的定义域． 3

(1)y＝log2x；(2)y＝log0.5?4x－3?；

(3)y＝log0.5?4x－3?－1；(4)y＝log(x＋1)(2－x)．

3

2

[解] (1)定义域为(0，＋∞)．

??4x－3>0，(2)由?

??4x－3≤1，

3

解得

4

?3?∴定义域为?，1?. ?4?

4x－3>0，??(3)由?1

4x－3≤，?2?

37

解得

48

?37?∴定义域为?，?.

?48?

x＋1>0，??

(4)由?x＋1≠1，

??2－x>0，

解得－1

∴定义域为(－1,0)∪(0,2)．

求对数函数定义域的注意事项

求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数大于零且不等于1.

[针对训练]

2．求下列函数的定义域． (1)y＝

log0.4?x－1?1

；(2)y＝；

2x－1log0.5?x－1?

(3)y＝loga?4x－3?(a>0且a≠1)． x－1>0，??

[解] (1)?log0.4?x－1?≥0，

??2x－1≠0，∴定义域为{x|1

解得1

4