2016新课标三维人教B版数学选修4-4 1.1 直角坐标系，平面上的伸缩变换

Y2－4X＋3＝0，求满足条件的伸缩变换．

解：x2－36y2－8x＋12＝0 ?x－4?2

?－9y2＝1. 可化为?

?2?X2－Y2－4X＋3＝0 可化为(X－2)2－Y2＝1. x－4?

?X－2＝

2，比较①②，可得?

??Y＝3y，

②

①

x??X＝，2即???Y＝3y.

1

所以将曲线x2－36y2－8x＋12＝0上所有点的横坐标变为原来的2，纵坐标变为原来的3倍，就可得到曲线X2－Y2－4X＋3＝0的图象．

10．如图，动点M与两定点A(－1，0)，B(1,0)构成△MAB，且直线MA，MB的斜率之积为4.设动点M的轨迹为C.求轨迹C的方程．

解：设M的坐标为(x，y)，

当x＝－1时，直线MA的斜率不存在； 当x＝1时，直线MB的斜率不存在． 于是x≠1且x≠－1.

yy此时，MA的斜率为，MB的斜率为. x＋1x－1yy

由题意，有·＝4，

x＋1x－1化简可得，4x2－y2－4＝0. 故动点M的轨迹C的方程为 4x2－y2－4＝0(x≠1且x≠－1)．

11．已知动点P(x，y)与两定点M(－1,0)，N(1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．

(1)求动点P的轨迹C的方程；

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(2)试根据λ的取值情况讨论轨迹C的形状．

解：(1)由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零， 所以kPM·kPN＝

2

yy

·＝λ(λ≠0，x≠±1)， x＋1x－1

y2

整理得x－λ＝1(λ≠0，x≠±1)． 即动点P的轨迹C的方程为 y2

x－λ＝1(λ≠0，x≠±1)．

2

(2)①当λ>0时，轨迹C为中心在原点、焦点在x轴上的双曲线(除去顶点)； ②当－1<λ<0时，轨迹C为中心在原点、焦点在x轴上的椭圆(除去长轴的两个端点)；

③当λ＝－1时，轨迹C为以原点为圆心、1为半径的圆(除去点(－1,0)，(1,0))； ④当λ<－1时，轨迹C为中心在原点、焦点在y轴上的椭圆(除去短轴的两个端点)．

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