2016新课标三维人教B版数学选修4-4 1.1 直角坐标系，平面上的伸缩变换

[思路点拨] 将伸缩变换中的x，y分别用X，Y表示，代入已知的曲线方程，即可得到所求曲线的方程，再由方程判断曲线的类型．

?X＝3x，[精解详析] ∵?

?Y＝2y，

1x＝??3X，∴?1

y＝??2Y，

代入圆的方程x2＋y2＝1， ?1??1?

有?3X?2＋?2Y?2＝1， ????X2Y2

∴9＋4＝1.

?X＝3x，

∴经过伸缩变换?后，

?Y＝2yX2Y2

圆x＋y＝1变成了椭圆9＋4＝1.

2

2

?X＝ax?a>0?，

利用坐标伸缩变换?求变换后的曲线方程，其实质是从中求出

?Y＝by?b>0?，1x＝??aX，?1??y＝bY，

然后将其代入已知的曲线方程求得关于X，Y的曲线方程．

3．在同一直角坐标系中，将直线2x－y＝3变成直线2X－6Y＝9，求满足图形变换的伸缩变换．

?X＝λx?λ>0?，

解：设伸缩变换为?

?Y＝μy?μ>0?，将其代入2X－6Y＝9，得2λx－6μy＝9， λ＝3，??

与2x－y＝3进行比较，得?1

μ＝?2.?

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X＝3x，??

故伸缩变换为?1

Y＝?2y.?

[对应学生用书P3]

一、选择题

1．在同一坐标系中，将曲线y＝3sin 2x变为曲线Y＝sin X的伸缩变换是( ) x＝2X??

A.?1y＝Y??3

X＝2x??

B.?1Y＝?3y?

?x＝2X

C.? ?y＝3Y

?X＝2xD.? ?Y＝3y

?X＝λx?λ>0?，

解析：选B 设?将其代入Y＝sin X，

Y＝μy?μ>0?，?1

得μy＝sin λx，即y＝μsin λx. 1

比较y＝3sin 2x与y＝μsin λx， 11

可得μ＝3，λ＝2，∴μ＝3，λ＝2. X＝2x，??∴?1

Y＝3y.??

2．已知平面上两定点A，B，且A(－1,0)，B(1,0)，动点P与两定点连线的斜率之积为－1，则动点P的轨迹是( )

A．直线 C．椭圆的一部分

B．圆的一部分 D．双曲线的一部分

解析：选B 设点P的坐标为(x，y)， 因为kPA·kPB＝－1， 所以

yy

·＝－1， x＋1x－1

整理得x2＋y2＝1(x≠±1)．

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故动点P的轨迹是圆除去点(1,0)，(－1,0)的部分． 3．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( ) A．椭圆 C．比原来小的圆

B．比原来大的圆 D．双曲线

解析：选D 由伸缩变换的意义可得．

4．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)．如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于( )

A．π C．8π

B．4π D．9π

解析：选B 设P点的坐标为(x，y)，∵|PA|＝2|PB|， ∴(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]． 即(x－2)2＋y2＝4.

故P点的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆， 它的面积为4π. 二、填空题

5．△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，△ABC的周长为10，则点A的轨迹方程为__________________．

解析：∵△ABC的周长为10， ∴|AB|＋|AC|＋|BC|＝10，其中|BC|＝4， 则有|AB|＋|AC|＝6>4，

∴点A的轨迹为椭圆除去与B，C共线的两点，且2a＝6,2c＝4， ∴a＝3，c＝2，b2＝5，

x2y2

∴点A的轨迹方程为9＋5＝1(y≠0)． x2y2

答案：9＋5＝1(y≠0)

6．将对数曲线y＝log3x的横坐标伸长到原来的2倍得到的曲线方程为________．

解析：设P(x，y)为对数曲线y＝log3x上任意一点，变换后的对应点为P′(X，?X＝2x，Y)．由题意知伸缩变换为?

?Y＝y，

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1??x＝X，∴?2??y＝Y.

1x代入y＝log3x得Y＝log32X，即y＝log32. x

答案：y＝log32

Y2

7．把圆x＋y＝16沿x轴方向均匀压缩为椭圆X＋16＝1，则坐标变换公

2

2

2

式是________．

?X＝ax ?a＞0?，

解析：设φ：?

?Y＝by ?b＞0?，Xx＝??a，则?Y

y＝??b.

X2Y2

代入x＋y＝16得16a2＋16b2＝1.

2

2

∴16a2＝1,16b2＝16. 1??a＝，∴?4??b＝1.

x??X＝，4故???Y＝y.

x??X＝，4答案：? ??Y＝y

1??X＝x，

28．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为???Y＝3y，弦曲线y＝cos x的方程变为________．

1??X＝x，

2解析：∵???Y＝3y，

则在这一坐标变换下余

x＝2X，??

∴?1y＝Y.??3

代入y＝cos x得Y＝3cos 2X. 答案：Y＝3cos 2X 三、解答题

9．在同一平面直角坐标系中，将曲线x2－36y2－8x＋12＝0变成曲线X2－

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