2016新课标三维人教B版数学选修4-4 1.1 直角坐标系,平面上的伸缩变换

_1.1直角坐标系，平面上的伸缩变换

[对应学生用书P1]

[读教材·填要点]

1．直角坐标系 (1)直线上点的坐标

在直线上取定一点O，取定一个方向，再取一个长度单位，就构成了直线上的坐标系，简称数轴．建立数轴后直线上的点与全体实数之间就建立了一一对应关系．

(2)平面直角坐标系

在平面上取两条互相垂直并选定了方向的直线，一条称为x轴，一条称为y轴，交点O称为原点．取定长度单位，则构成了平面上的一个直角坐标系．在平面上建立了直角坐标系后，平面上的点就与全体有顺序的实数对之间建立了一一对应关系．

(3)空间直角坐标系

过空间中一个定点O，作三边互相垂直且有相同长度单位的数轴，就构成了空间直角坐标系．建立空间直角坐标系后，在空间中的点和有序数组(x，y，z)之间就建立了一一对应关系．

2．平面上的伸缩变换

?X＝ax，

设点P(x，y)是平面上的任意一点，在变换?(a>0，b>0)

?Y＝by

的作用下，变为平面上的新点Q(X，Y)，这种变换就是平面上的伸缩变换．

[小问题·大思维]

1．用坐标法解决几何问题时，坐标系的建立是否是唯一的？

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提示：对于同一个问题，可建立不同的坐标系解决，但应使图形上的特殊点尽可能多地落在坐标轴，以便使计算更简单、方便．

2．伸缩变换中的系数a，b有什么特点？在伸缩变换下，平面直角坐标系是否发生变化？

提示：伸缩变换中的系数a>0，b>0.在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，只是对点的坐标进行伸缩变换．

[对应学生用书P1]

用坐标法求轨迹方程

[例1] 已知点H(－3,0)，点P在y轴上，点Q在x轴的正

???????????????3????PM＝0，PM＝－MQ.半轴上，点M在直线PQ上，且满足HP·

2

当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C.

???????????????3????PM＝0，PM＝－MQ，坐标化后[思路点拨] 设出动点M(x，y)，将HP·

2

建立x，y的关系式可求得．

[精解详析] 设M(x，y)，P(0，y′)，Q(x′，0)(x′>0)，

???????????????3????PM＝0， ∵PM＝－2MQ，HP·

3

∴(x，y－y′)＝－2(x′－x，－y)， 且(3，y′)·(x，y－y′)＝0， 1

x′＝x，??3∴?1

y′＝－??2，

①

3x＋yy′－y′2＝0.② 将①代入②式得y2＝4x(x>0)．

即动点M的轨迹C是以O(0,0)为顶点，以(1,0)为焦点的抛物线(除去原点)．

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求轨迹方程，其实质就是根据题设条件，把几何关系通过“坐标”转化成代数关系，得到对应的方程．

(1)求轨迹方程的一般步骤是：建系→设点→列式→化简→检验．

(2)求轨迹方程时注意不要把范围扩大或缩小，也就是要检验轨迹的纯粹性和完备性．

(3)由于观察的角度不同，探求关系的方法也不同，解题时要善于从多角度思考问题．

1.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1,1)，P是动点，且三角形POA的三边所在直线的斜率满足kOP＋kOA＝kPA.求点P的轨迹C的方程．

解：设点P(x，y)为所求轨迹上的任意一点， 则由kOP＋kOA＝kPA得， y－1y1

x＋－1＝x＋1，

整理得轨迹C的方程为y＝x2(x≠0且x≠－1).

[例2] 已知△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别为两腰上的高．求证：BD＝CE.

[思路点拨] 本题考查坐标法在几何中的应用．解答本题可通过建立平面直角坐标系，将几何证明问题转化为代数运算问题．

[精解详析] 如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．

设B(－a,0)，C(a,0)，A(0，h)， h

则直线AC的方程为y＝－ax＋h， 即hx＋ay－ah＝0.

h

直线AB的方程为y＝ax＋h， 即hx－ay＋ah＝0.

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用坐标法解决几何问题

由点到直线的距离公式得|BD|＝|CE|＝

|2ah|

， a2＋h2|2ah|

， a2＋h2∴|BD|＝|CE|，即BD＝CE.

(1)建立适当的直角坐标系，将平面(立体)几何问题转化为解析几何问题，即“形”转化为“数”，再回到“形”中，此为坐标法的基本思想．

(2)建立坐标系时，要充分利用图形的几何特征．例如，中心对称图形，可利用它的对称中心为坐标原点；轴对称图形，可利用它的对称轴为坐标轴；题设中有三条两两垂直的直线，可考虑以三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系等．

2．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，BD的中点．求E，F两点间的距离．

解：如图，以D为空间坐标原点，建立空间直角坐标系，则A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，B(1,1,0)，

111

∴E(1，2，1)，F(2，2，0)． ∴|EF|＝1115?1－2?2＋?2－2?2＋?1－0?2＝2，

5. 2

即E，F两点间的距离为

平面上的伸缩变换 ?X＝3x，

[例3] 在同一坐标系下经过伸缩变换?后，圆x2＋y2＝1变成了什

?Y＝2y么曲线？

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